复杂函数的凸性及其于不等式证明的应用外文翻译资料

复杂函数的凸性及其于不等式证明的应用

原文作者 E.K.Godunova

摘要：此外文文献主要阐述了复杂函数的凹凸性及其在不等式证明的应用，其中也涉及到了两者的各种关系。本翻译截取其中一部分进行简要翻译。

关键词：复杂函数； 凹凸性； 不等式；

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明。函数凹凸性，反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，为此运用它可以更深入和较准确地掌握函数曲线的形状，这对于描绘函数的图形有很大的作用。关于这些，在高等数学的各类教材中都有详尽的论述。实际上，许多熟悉的不等式都是凸性或是凹性函数的体现。例如，基本不等式：

上述这个基本不等式表现了指数函数的凸性性质，通过简单的替代之后，可以由以下不等式变换得到。

在不等式理论中，研究某些函数叠加后呈现出的凹凸性的确具有一定的趣味性。从这个方面，我们自然而然地提出并证明了在一定条件下成立的定理。同时，我们通过一些具体的例子来生动形象地呈现如何利用这些定理证明不等式。当然，要得到的这些不等式，基本上要先概括一些先前用更复杂的方法证明过的著名的结论。

定理1.两线性空间内有两条直线L_A，L_B；令x=S(a)，y=T(b)，使得，是两个实值函数，将A和B映射到R_x和R_y中，同时是直线A上的凹（凸）函数，是直线B上的凹（凸）函数；让成为两个实际变量的凹（凸）函数。同时定义，要么y为常数x单调递增，要么x为常数y单调递减，那么就是Atimes;B上的凹（凸）函数。

这个证明是直接利用了Jense不等式对于凹函数的概念。

Jense不等式是这样说的：

对于任意的凹函数以及其定义域上n个数，那么都有

对于任意的凸函数以及其定义域上n个数，那么都有

如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有才成立

当然我们也可以直接利用不等式的形式形象生动得做一个推导，即我们若令，则：

当且仅当

令那么，可以得出

值得注意的是，如果或 ，那么我们就不再需要对函数分情况讨论了，即函数在增加或者减少条件下的情况。

只要细心大胆地去研究大量的数学模型，类似的定理可用于任何数量的变量函数的制定。在是一个真正的函数变量的情况下，那么可以搜索到相应的定理，类似于[5]中的定理114，都可以提供相应的或者近似的模型以供实验所求。

定理1rsquo; 一个凹（凸）函数在凹形并且单调递增（递减）的情况下会演化成为另一种凹函数。

定理2 如果在n-1是一个变量的且的时候是一个凹（凸）函数，那么当，的时候，下面这个函数

竟然也是一个凹（凸）函数。

定理的证明明显是运用了Jensen不等式中的凹函数的性质，即如以下形式

令我们可以继续进行以下复杂而又直观的推导

正如我们需要经常使用类似于[5]中的定理106，这个定理他自己本身就引用了它自己本身的一个部分。

定理I 我们假设是连续的并且当时，，同时是的逆函数。为了使以下不等式在的条件下成立

那么我们必须要使是凹的，或者是单调递增的。建立在反不等式的条件有效性之上的类似定理公式。

特别地要提出的是，几何平均和调和平均数在上都是凹函数，其中调和平均数在，是凸函数。

例1 洛伦兹空间在广义上的不等式（[1]，p，59）

关于洛伦兹，坐标系K1（O₁，X₁，Y₁，Z₁）以速度V相对于坐标系K（O，X，Y，Z）作匀速直线运动；三对坐标分别平行，V沿X轴正方向，并设X轴与X1轴重合，且当T₁=T=0时原点O₁与O重合。设P为被“观察”的某一事件，在K系中观察者“看”来。它是在T时刻发生在（X，Y，Z）处的，而在K₁系中的观察者看来，它是在T₁时刻发生在（X₁，Y₁，Z₁）处的。这样的两个坐标系间的变换，我们叫洛伦兹坐标变换。

如果这个函数符合定理I中所有的条件，即在符合的条件下，那么在定义域内是一个凹函数。

当，上述的公式就可以转化为一个全世界著名的洛伦兹空间不等式。

该不等式的形式如下：

当 时，

此时，我们注意到这种证明的不等式在定理1rsquo;的条件下，函数 是显现出凹凸性中的凹性。假使让，在定理I的定义下，函数反而显示出了凹凸性中的凸性。

继而根据定理1rsquo;条件下的R和L，我们的证明可以完全地使我们自己去相信函数。不过为了完全地去证明S的凹凸性，我们只能依赖于包含于定理2条件下的函数。

例2 广义上的Dresher不等式

关于不等式：回顾数学学习历程，在历年的高考试题中关于不等式的题型均有出现。在中学数学中不等式的证明方法有比较法、放缩法、综合法、数学归纳法等初等方法。不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，在证明不等式前，往往需要依据题设和特征不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，通过揭示问题的本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题。

我们先设A和B是n维向量，和是实际的非负坐标系则显现出了凹凸性中的凸性。

而则显现出了凹凸性中的凹性（根据定理1）。函数在不变而单调递增或不变而单调递减的条件下是两个变量的凸函数。接下来，在定理I的基础上，可以知道是基于Atimes;B的凸函数，具体可见下式：

那么我们就可以得出相应的积分不等式如下：

而且这个积分不等式并非是无效的，而是有效的。而它正式基于Dresher不等式，并且是在的条件下产生的。

例3 关于对称函数和矩阵的不等式证明（cf.，[4]，[1],p.52）

关于对称函数：

定理1.①若函数图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ane;b）,则是周期函数,且2| a－b|是其一个周期.

②若函数图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（ane;b）,则是周期函数,且2| a－b|是其一个周期.

③若函数图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（ane;b）,则y = f (x)是周期函数,且4| a－b|是其一个周期.

定理2.函数与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称.

定理3.①函数与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.

②函数与a－x = f (a－y)的图像关于直线x y = a成轴对称.

③函数与x－a = f (y a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.

我们使是n的一系列非负数。我们将对称函数做出以下定义：

hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;

我们如果运用设置r能够很轻松地就证明出函数的凹凸性。将上面的假设带入，明显地可以始终认为是具有凹性的线性函数。同时令，那么我们可以做如下推导：

已知是凹性并且单调递增的，那么根据定理2，的凹凸性的结果就相当于是函数的凹凸性。因为凹函数的几何平均值的函数依旧是凹函数（具体可参考定理Irsquo;和定理1）那么，函数的凹凸性就服从以下函数的凹凸性：

并且同时可以在r＞k和r＜k的情况下使用。

当然，也有类似的证明例如运用Fanrsquo;-Tszy不等式证明矩阵A，还有行列式丨A丨，行列式丨A_k丨以及它的子矩阵A_k，剔除行列式A的n-k行列可以得到（[1]，p.106）：

一开始证明这种关系的证是Bergstrom不等式：

文献引用

1.E.Beckenbach and R.Bellman,Inequalities [Russian translation],Moscow(1965).

2.H.Bergstrom,A triangle inequality for matrices,Den Elfte Skandinavski Matimatiker Kongress, Trondheim(1949),Oslo(1952).

3.M.Dresher,Moment spaces and inequalities,Duke Math.J.,20,261-271(1953)

4.M.Marcus and L.Lopes,Inequalities for symmetric functions and Hermitian matrices, Canad.J.Math.,8,524-531(1969).

5.G.H.Hardy,D.E.Littlewood,and G.Polya,Inequalities [Russian translation from the English], Moscow (1948)

6.Hardy G.H,Littlewood J.E.,Polya G.,Inequalities,Cambridge,2nd Ed.1952.

7.Mitrinovic D.S.,Vasic P.P.,Analytic inequalities.Springer-Verlag,1970.

8欧阳光中等.数学分析［M］.第三版.北京:高等教育出版社,2007年:42-65.

9匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科技出版社,2004,23-34.

10霍连林.著名不等式[M].北京:中国物质出版社,1994,123-124.

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