研究在稳定大气中下降的雨滴外文翻译资料

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研究在稳定大气中下降的雨滴

M. Abdelouahab a,b,lowast;, R. Gatignol c

a Universiteacute; des Sciences et de la Technologie, Mohammed Boudiaf, BP 1505, Oran, Algeacute;rie

b Laboratoire de Modeacute;lisation des Systegrave;mes Industriels, U.S.T.O, Algeacute;rie

c Sorbonne Universiteacute; UPMC (Paris 6) amp; CNRS, Institut Jean le Rond drsquo;Alembert, 4 place Jussieu, 75005, Paris, France

强调

bull; 研究的参数是瞬时速度与时间的关系，以及小液滴下落高度的函数，并且延伸到大液滴。

bull; 当等效直径液滴达到垂直末速度的99%时的下落高度默认为所需要的下落高度。

bull; 得到的结果和文献中提取的实验数据吻合良好。

摘要：

这项工作的目的是得到在稳定大气中下落的液滴的瞬时速度、下落高度与时间关系的数学表达式。另外，末速度的变化取决于研究所取的下落高度。 对于非常小的球形液滴，具有非常低的雷诺数和服从斯托克斯定律的拖曳力，它们随着时间的推移下降的瞬时速度 u是较为简单的结果。 从速度的表达式，很容易得到下降高度 h随时间的变化。 通过消除时间，积分速度u得到高度h的函数。 在本文中，还将这个关系扩展到更大的液滴。 通过从数学方程式得到的数值预测将理论与实验（半经验方程）的组合与较为认可的实验数据进行比较 。结果表明预测值与实验数据吻合良好。

关键词：下落液滴 瞬时速度 末速度

1 介绍

运动学证明，一个物体在连续介质中的下落速度逐渐趋向于一个极限速度。 理论上来说，下落物体在空气中下降需要无限的时间才能达到末速度。实际操作中，通常取极限速度的95%为物体下落的末速度。在本文中，我们提出一个公式，取99%作为液滴下落的末速度，并与其他取相同的百分比的作者做了比较。

研究人员通常引用等效直径（de）用于研究，等效直径球形液滴与实际形变的液滴具有相同的体积。研究在稳定大气中的下落液滴可分为三类：（1）非常小的液滴（delt;80mu;m），该速度可以通过计算斯托克斯公式得到; （2）中等大小的液滴（80mu;mlt;de lt; 500mu;m），速度可以使用牛顿动力学定律和固体球形粒子的拖曳系数进行计算; （3）对于大液滴（500mu;mlt;de lt;5mm），由于空气阻力的作用使它们变得扁平，而不再保持球形，因此在下落过程中与空气有着较大的接触面积。这些液滴变得不稳定并且当它们的直径超过5mm时极易破裂。 在这一领域中已经有许多研究但都不太成功。我们已经分析了的雨滴下落速度的实验数据包括：Lenard^[1],Flower^[2], Laws^[3], Gunn and Kinzer^[4], Leeden et al.^[5], Sartorand Abbott^[6], Wang and Pruppacher^[7], Beard^[8], Boxel^[9],Andsager et al.^[10], Zhou et al.^[11]and Chowdhury et al.^[12]。通常雨滴下落模拟实验被用作主要研究方法，但是大多数模拟高度不足以大液滴达到它们的末速度。大多数模拟器的高度为2米，很多其他模拟器甚至低于2m。

在众多实验中，1968年，Wang和Pruppacher^[7]用一个垂直高度超过9层楼的塔，它的测量高度为35米并且具有大约1m²的面积。对于那些很小的液滴，当雷诺数小于1时，它们很容易保持球形。通过解方程得到的下落速度与高度的结果与实际结果非常吻合。 但是再拓展到雷诺数较大且具有较大密度的液滴， 在我们这个例子中，这个数字大概是1000，研究就变得困难了。

最近，由Chowdhury等人^[12]主导了另一项关于同一主题的研究。他们研究物体的形状“轴比” 以及在稳定大气（恒温22℃）中的物体的下落速度。为了进行该项研究，他们采用了一个13m高的塔。分别实验了三种不同尺寸的（0.26,0.37和0.51cm），最大下降距离可达13米。基于实验观察，他们把物体的下落轨迹划分为三个不同的区域（第一区，第二区和第三区）。在第一区，由于水平和垂直方向的震荡以及渐进粘滞阻尼，液滴的形状需要不停调节。第二区的特点是液滴维持稳定形态，称为平衡形态，无振荡下降。 在这个区域，液滴持续加速直至末速度。在第三区，液滴已经获得了平衡形状，并以终极速度的99％的速度完成行程。实验发现必要的下落距离小于文献中的所需距离。基于实验结果，Chowdhury等人^[12]得出结论，大约6到12米的下落高度值可以用作降雨实验的参考数据。

虽然之前已经有大量的理论和实验工作完成，但都没有得到一个通用的结论。实际上，我们只知道一些上面提及的作者的成果以及一些复杂的数学方法，例如，解决液滴和周围流体中的Navier-Stokes方程。举Gottesdiener等人的工作为例^[13]，其中基于有限体积法的数值模拟解决了运动方程。每个数值模拟方法相关的假设和条件取决于选取的模型。事实上，一些解决方案对于低雷诺数雨滴适用，而有些其他方案只对非常小的雨滴或对于特定的区域、网格或边界条件适用。这些解决方案的局限性非常大，是不能推广的。

我们提出了一个非常简单的想法。我们一开始通过研究雷诺数小于1的球形小水滴（2.1）在空气中的运动。用于比较的实验数据来自Sartor和Abbott^[6]。Wang和Pruppacher对此已经做过研究 ^[7]。该方法的优点是阻力系数已知且公式非常简单，更重要的是微分方程可以得到解析解。

然后在（2.2）中，这个解决方案被推广到更大的形变液滴。阻力系数的表达变得复杂并且运动过程的微分方程得不到解析解。因此我们根据雨滴的瞬时速度和末端速度提出一个雨滴下落高度的模型（3）。这个模型更加通用，而且其理论值与文献中实验数据较为吻合。该模型的有效范围在（4）中有所讨论。

2 方法介绍

球形液滴在空气中的垂直运动可由动力学的基本方程描述，特别引用了Basset-Boussinesq的系数（Clift等人^[14]）。在液滴的密度远高于连续介质的情况下这个系数可以忽略。因此这对分布在空气中的液滴的密很重要。此外，Basset-Boussinesq力的作用甚至低于周围介质的粘力（Clift等人^[14]）。

忽略了该系数作用的基本动力学方程，以下等式适用于空气中的下落雨滴：

(1)

其中ε=0.5，C_D为拖曳系数，S为液滴在垂直于运动方向上与空气接触的面积; u，V和rho;_d分别代表液滴的速度，体积和密度，rho;_c是连续介质的密度。下标c，d分别代表连续相和分散相。

2.1 对于小的球形液滴（de lt;160mu;m）

对于小雷诺数的球形液滴在稳定大气中的运动，Hadamard^[15]and Ribczynski^[16]提出以下拖曳系数：

(2)

其中，Re是液体颗粒在一个无限稳定介质中的雷诺数，为粘度比。

雷诺数的定义：

(3)

对于固体球，k→infin;，等式(2) 整理为：

(4)

等式（4）适用于雷诺数小于0.1的情况。在雷诺数符合条件的范围内，这个等式的误差约为1％。当雷诺数大于0.1时这个公式依然可以使用，但误差会增大到10％左右。 对于上升气泡，k→0，等式（2）整理为：

(5)

考虑到颗粒球形和附加质量可忽略不计（因为 εrho;c相比rho;d可忽略不计），使用公式（2）和（3）（假设准静态性质），那么等式（1）变为：

(6)

通过取和

得到：

(7)

(8)

其中U_T=K₁/K₂，U_T是斯托克斯末速度：

(9)

当k→infin;，等式（9）改写为接近球形固体的末速度。

（10）

我们可将等式（8）改写为

（11）

其中

（12）

定义tau;_g的表达式具有时间维度，表示粒子的响应时间。对于那些保持球形的小液滴，k→infin;，公式（12）可变为：

（13）

当表示在空气中的液滴时，

U_Tasymp;3·10⁵ d_e² （14）

tau;_gasymp;0.306·10³ d_e² （15）

其中，de的单位是厘米，rho;_d = 10³kg/m³，mu;= 1. 818times;10^-5kg/m·s。在20℃时，等式（14）U_T的表达式中系数3·10⁵的单位是1cm·s，而在等式（15）中系数0.306·10³的单位是s/cm²。例如，一个在空气中的液滴的de=67.92mu;m=0.006792cm，我们可以从（14）和（15）得到他的末速度约等于13.84m/s和它的tau;g约等于1.41·10^-2s。

取t=tau;g时，u/U_T=1-e^-1asymp;0.632

因此，响应时间是液滴从开始到加速到终点速度的63.2％所需的时间。对于那些达到末速度95％的液滴，它们需要的时间是t_95％=-tau;gLn（1-0.95）,t_95％asymp;3tau;g,而t_98％asymp;3. 6tau;g和 t_99%asymp;4. 6tau;g。一般来说，液滴下降达到终端速度百分之alpha;所需的时间为：

t_a=-tau;_gln(1-alpha;) (16)

图1给出的是delt;160mu;m的小液滴在空气中瞬时速度u的变化曲线。这些曲线与（10）、（13）给出的理论曲线相吻合。对（11）式整理可得到下落高度h与时间t的关系：

当t = 0，h = 0，则C =-tau;g UT。将常数C的表达式带回到（17），再通过（11）得到时间t的表达式，我们可以得到：

比较方程（10）和（13）与△rho;asymp;rho;d，我们可以推断出tau;_g=g/U_T，那么（18）可以改写为：

式（19）给出了高度与速度u的关系。它只对那些符合斯托克斯理论，雷诺数约等于1的小液滴有用。图2给出了该式分别应用于de=1.17mm和de=1.67mm时的结果。根据图1和图2，当等效直径小于1.67mm时，实验数据为与等式（19）推出的理论值十分接近。但是对于更大的等效直径的液滴，等式（19）是不符合实验数据的。

图.1等效直径小于160mu;m的小液滴在空气中的速度-时间曲线。所使用的等效直径de为67.92mu;m，101.14mu;m和157.26mu;m，

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