加锥的逆高斯相关不等式外文翻译资料

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加锥的逆高斯相关不等式

Xiaohong Chen ,Fuchang Gao

Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University, 30 Hillhouse Ave., New Haven, CT 06520, USA

Department of Mathematics, University of Idaho, 83844 Moscow, USA

文章信息：
文章历史：
2016年8月23日收到
2016年11月29日收到修订后的形式
2016年12月13日网上可以获取

关键词：高斯测量、凸集、凸锥、后验分布、概率比、赤栏分布

摘要：让表示任何集中高斯测量。证明对任何在内的闭凸集A和B,和任何在内的闭凸锥C和D,如果C^o包含于D,当C^o是 C的极地锥，那么就有

,

和

作为一个应用，这个新的不等式被用来约束渐近后验分布凸锥的似然比统计量。

copy;2016 Elsevier公司保留所有权利。

1.引言

高斯测度在凸集上由于概率的不同应用存在许多不等式，统计学、计量经济学、几何、量子物理等领域。许多这样的不等式可以在一些书中找到（例如，Bogachev，1998；勒杜，1991；发动机和Talagrand，镍，2015）和评论文章（例如，Latala，2002；李和邵，2001）。

让表示任何中心在上的高斯测量。对称凸的公知高斯相关不等集，推测40多年前指出，如果K和L是在上两个对称闭凸集，然后

早期部分证明这个猜想和应用频率统计的置信集是borell（1981），schechtman etal（1998），khatri（1967），sidak（1967），和latala（2002）等人。这个猜想最近通过royen（2014）全面的一般性证明；看到Latala和matlak（2015）为一个易于遵循的演示。

在本文中，我们首先建立一个反向高斯相关不等式加入凸锥。然后我们提供了一个简单凸锥似然比统计量渐近后验分布的应用。

2.加锥的逆高斯相关不等式

在这和下一节中，我们使用一些著名的事实，封闭凸锥，在任何凸分析教材，看到Hiriart Urruty和lemarechal（2001）例如。所有的闭凸conesweconsider零开始。任何凸锥极锥的定义为我们的第一个建立以下不等式：

定理1.任何闭凸集合A和B的路，和任何闭凸锥的C和D在，如果，其中C^◦是极锥的C，然后

和

在任何中心的高斯测量

2.1．定理1的证明

通过其他方式代替A和B的凸集和，取代C和D的凸锥和，在d正定矩阵，我们可以假设，是在，否则使用的近似，我们可以假定闭凸集A和B有有限多个极值点，，C和D是有限生成的闭凸锥。假设

,

,

这里c₁,hellip;,c_r, d₁,hellip;,d_s是单位矢量。通过Minkowski–Weyl定理，C^o也是有限生成的。所以我们假设

是单位矢量。因为C是闭凸锥，我们有.因此我们有

(1) （2）

然后

如果我们让

那么 （3）

通过Minkowski–Weyl定理，P^o也是有限生成的。所以我们假设

,hellip;, 是单位向量，,hellip;, lambda;_k是实数又因为向量,hellip;, 满足

我们有

因此通过C^o的定义，我们有对所以成立，因为我们有

，对 。

另一方面，因为（P^o）^o=P，得到

连同（3）得

. （4）

同理得

， （5）

是D^o中的一些单位向量，是实数。

让为在中的N(0, I_d )随机向量。定义对1le;ile;k, 对1le; jle;l。因为,hellip;, ，当时，我们有

由Slepian引理(Slepian, 1962)，我们有

这可以表述为

.

这个不等式证明

.

是几乎一样的。事实上，唯一不同的是，在后者的情况下，，

但是， 。因此，不等式是反向的。

,

三.应用

已有的对形状的约束估计各种统计概率的渐近性质的许多结果和推理。然而，正如Silvapulle和Sen（2005）（8章）、Bochkina和Green（2014）指出对没有形状约束模型的贝叶斯统计渐近行为研究。定理1可以应用与限制在凸锥贝叶斯统计的后验分布的频率统计。

设C是中的任何Dge;1任何闭凸锥。对任何向量Visin;，让P_v成为V到C和P^o投影V是V到C^o投影。由莫罗的定理（例如见第A.3.2章Hiriart-Urruty和lemarechal，2001）我们有独特的分解和定理1立即包含以下结果。

定理2.设C为中任意闭凸锥，V是中的任何向量，P是在C上的投影让表示中的标准高斯测度。然后对任意的z〉0，

（6）

证明。注意不等式（6）相当于

, （7）

因为= 有

。

因此不等式（7）由于

。

其中第二个不等式如下定理1通过选择（标准高斯测度）

让表示从isin;的随机样本（即正确的指定的参数模型）与（R^d中的闭凸锥）。让Ln（=表示平均对数似然函数和isin;C是一个近似的最大似然估计Ln（。定义似然比（LR）（在一个点theta;isin;C）为：

LR_n（ （8）

众所周知，定期parametricmodels的LR统计量的渐近分布LR_n（为闭

锥

例如，所谓的卡孔分布；见，例如，夏皮罗（1988年），和silvapulle森（2005）和范德法特（1998）中。让Pi;是事先测量C，具有连续的、严格的正密度pi;在B_d（delta;）cap;C对一些delta;gt; 0。

对给定的X_n后验分布Pi;_n被定义为

（9）

对任何可测子集C。让Vn成为数据可测函数Xn如Vn→ N(0,I_d)当 n→infin;。作为一个副产品，其更一般的结果Chen et al. (2016)显示：

（10）

这连同定理2，就意味着所有的

即，当C是一个闭凸锥的LR统计量的渐近阶的后验分布随机占主导地位的LR统计量的渐近分布。这反过来意味着贝叶斯可信域是一个LR渐近有效的频率统计的置信集theta;isin;C.陈等人。（2016）更一般的应用程序参损失识别模型。

致谢

第一作者的研究是由考尔斯经济学研究基础部分支持。第二作者研究由西蒙斯基金会给予部分支持。

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