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基于NML和LSM的Pulsar导航快速定位和速度确定

摘要 - 为了降低计算成本，提出了一种基于近似似然（NML）和最小二乘法（LSM）的快速位置和速度关节确定（FPVD）方法用于X射线脉冲星导航。考虑到由航天器的速度引起的多普勒效应改变X射线脉冲到达时间（TOA）的事实，我们采用NML来获得多TOA，然后利用LSM来估计变化TOA代替最大似然（ML）估计方法采用的脉冲星形状转换。最后，根据变化值和TOA，计算出航天器的位置和速度信息。仿真结果表明，FPVD方法远比ML估计方法快，其精度接近Cramer-Rao下界（CRLB）。

关键词 - 速度确定，脉冲星，最大似然，最小二乘法。

介绍

目前，用于深空探测的X射线脉冲星导航是研究的热点。 X射线脉冲星是信号源，它的脉冲电磁辐射用于航天器的导航。 X射线脉冲导航系统通过航天器上的X射线传感器收集这些辐射信号。几分钟后，可以获得大量的X射线脉冲星信号。使用Epoch折叠（EF）程序[1]处理那些X射线脉冲星信号，X射线脉冲星导航系统可以获得稳定的脉冲星轮廓来估计X射线脉冲到达时间（TOA）[ 2,3]。

在EF程序中，需要脉冲星信号的准确频率。许多学者认为准确的频率是已知的[4-6]。然而，由航天器运动引起的多普勒效应导致脉冲星信号频率的变化。当。。。的时候

脉冲星信号频率不准确，EF程序构造一个失真的脉冲星轮廓，这将导致脉冲TOA偏差。相反，根据集成的脉冲星轮廓失真，可以估算出航天器的速度。基于这一理论，Golshan提出了2008年X射线脉冲星导航的基于最大似然（ML）估计的位置和速度确定方法[7]。同年，Ashby和Golshan证明了准确性基于ML的方法接近Cramer-Rao下界（CRLB）[8]。 2011年，张华提出了X射线脉冲星基于熵的相位和多普勒频率测定方法[9,10]。谢强在2012年开发了专业功能，建立了专业功能与多普勒速度之间的关系模型[11]。基于该模型，可以通过搜索方法估计航天器的多普勒速度。不幸的是，这三种估算方法的计算成本非常高，不能胜任计算能力有限的车载计算机。原因在于，在这三种估计方法中，大量X射线脉冲星信号（大约107-108）以多周期折叠。我们已经发现，使用一个周期的EF过程的时间大约为10秒，由于车载计算机的计算能力有限，这对于X射线脉冲星导航系统而言太长。多周期使计算负荷更高。

为了解决这个问题，我们开发了基于近似最大似然（NML）和最小二乘法（LSM）的快速位置和速度关节确定（FPVD）方法。为了降低计算成本，必须避免使用提出的方法来折叠脉冲星信号多次。 并且FPVD方法仅折叠这些信号一次。 我们发现航天器的运动与每个脉冲TOA的变化有关。 因此，我们可以基于TOA的这种变化来估计速度。

测定方法

考虑到除了集成的脉冲形式失真之外，X射线脉冲TOA也受到航天器运动引起的多普勒效应的影响，我们开发了一种新的想法，其中多重EF由TOA取代 基于这种新颖的思想，我们提出了基于NML的快速位置和速度确定方法和LSM。 其总体思路如下。 首先，总脉冲星观测间隔分为几个子间隔。 然后通过NML估计每个子间隔中的脉冲TOA。 最后，LSM用于在子间隔中处理这些TOA。 通过这种方式，可以获得脉冲星方向上的位置和速度估计值。 在本文中，我们给出的位置和速度估计值是指脉冲星方向上的值。 快速位置和速度确定方法的示意图如图1所示。

FPVD方法的细节可以如下给出。

步骤1

总脉冲星观测间隔（t0，tf）可分为m个相等的脉冲星观测子间隔，（t0 （i 1）Tobs / m，t0 i Tobs / m），i = 1,2，m，其中t0和tf分别是观察的开始时间和结束时间，观察时间Tobs = tf-t0。

步骤2

在每个脉冲星观测子区间中，脉冲星信号在脉冲星周期内折叠以获得一系列脉冲星子轮廓。 然后通过快速NML方法估计相位估计值[6]。 由于这种NML方法仅估计脉冲相位，并且其计算负荷与X射线脉冲星信号的数量无关，而与脉冲星轮廓的长度无关，因此计算时间非常短。

我们利用NML方法估计相位phi;i，如公式（1）所示：

其中h（）是源的归一化去除脉冲星轮廓，hi（）是第i个观察子区间的折叠脉冲星轮廓，theta;表示脉冲相位。

由于航天器的运动，所获得的第i个观察子间隔的相位值（t0 （i 1）Tobs / m，t0 i Tobs / m）不对应于初始时间t0。 接下来，我们研究对应于获得的第i个观察子区间的相位值的时间。 假设脉冲周期为P0，速度为v，第一脉冲的相位为theta;0，其中theta;0isin;[0,2pi;）。 因此，第k个脉冲的相位是theta;k：

假设在脉冲星观察子区间中存在K个脉冲。 采用NML方法时，获得的相位值phi;i是theta;0theta;K-1的平均时间。 并且所获得的相位值可以计算为等式（3）。

该相位值等于第（K 1）/2相。即所获得的第i个观察子间隔的相位值phi;i对应于第i个观察子间隔的中间时间t0 （i -1/2）Tobs / m。然后将阶段转换为o ff集TOA在太空系统重力太空船上的TOA，如公式（4）所示。

其中ni是航天器和太阳系重心之间的脉冲周期的整数部分，而phi;b是太阳系重心处的t0 （i 1/2）Tobs / m的脉冲相位。

步骤3

利用最小二乘估计方法处理这些TOA，并获得位置和速度估计值。

根据步骤2，我们可以得到一系列数据，[t0 （i-1/2）Tobs / m，ti]，i = 1,2，...，m。和关系 t0 （i - 1/2）之间的船舶Tobs / m和ti可以描述为：

其中r和v是航天器在t0处的位置和速度，c是光速。

因此，位置和速度估计值如下：

Cramer-Rao下界

在本节中，我们可以证明快速位置和速度估计方法的准确性接近CRLB。TOA的标准方差的CRLB。已知速度和Tobs是sigma;[8]。

其中f是已知的源频率，alpha;和beta;表示源光子和背景光子的到达率，函数h（phi;）是归一化的去除脉冲星分布。

如果速度未知，则标准的CRLB速度和位置估计值的方差分别为2radic;3csigma;/ Tobs和2csigma;[8]。

在FPVD方法中，采用NML方法。为了估计脉冲TOA，其准确度sigma;接近CRLBsigma;[6]。 从方程（8）可以看出，子TOA ti的标准方差与观测时间Tobs/ m相同，是radic;msigma;。

因此，根据方程（6）和（7），v和r的标准差和方差分别为sigma;.

从方程（9）和（10），我们可以看出，m越大，两个标准方差值就越小。 并且sigma;v和sigma;r分别小于2radic;3csigma;/ Tobs和2csigma;。

我们还可以看到估计误差随着m的增加而下降。 并且这些估计误差的变化非常小，特别是对于mgt; 10。如方程（11）和（12）所示，这两者的极限标准方差分别为2radic;3c·sigma;^ / Tobs和2c·sigma;^。

从以上结果，我们可以得出结论FPVD的准确度接近CRLB当子间隔的数量m更大时。 因此，理论上，FPVD方法具有高精度。

1. 计算复杂度

在我们分析计算复杂度之前，Nb，NTF，t0和Ng定义为原始数量的箱脉冲星信号的数据负载和网格数量分别是。对于FPVD方法，整体计算脉冲星观测后的复杂性由确定方程（1）与方程（1）相比，计算其他方程式可以忽略不计。 计算方程（1）的复杂度约为2N2b MAC（乘法当没有先验时，和累积计算）关于航天器位置和速度的知识。 否则，整体计算复杂性大大减少。我们注意到，对于Nb = 3124，FPVD方法最多需要2times;107 MAC; 当关于航天器的位置和速度的先前知识是什么时众所周知，整体计算复杂性就在于104 MAC的顺序。接下来，调查ML的计算复杂性方法。ML方法中的每个数据。 并且一个网格点需要8Ntf MAC。 因此，整体计算复杂度为8N。当观察时间和时间分辨率分别为300s和10mu;s时，我们可以得到N tf = 3times;107。 一个网格点的计算复杂度为8Ntf =2.4 108 MAC。 当已知有关航天器位置和速度的先验知识时，网格点的数量至少为10。 我们可以得出ML方法的计算复杂度至少在109 MAC的量级。因此，我们可以得出FPVD方法比ML方法更快的结论。

仿真结果

在本节中，为了证明FPVD方法的可行性，有效性和鲁棒性，我们将FPVD方法与ML估计方法进行了比较。模拟条件可以如下所示。 由于其高流量，我们选择Crab脉冲星（PSR B0531 21）作为导航脉冲星。 其X射线脉冲星辐射光子流量为1.54ph / cm2 / s。 X射线背景辐射流量为0.005ph / cm2 / s，根据海军研究实验室[12]进行的实证研究选择。 X射线探测器的面积为384平方厘米。 根据硬X射线模块选择该值。中国的望远镜[13]。总观察间隔平均分为10个观察子间隔。该实验是在配备1.7GHz CPU和1G RAM的Dell vostro 1000笔记本电脑上进行的。

首先，我们研究了FPVD方法的估计精度，不同的观察时间和X射线探测器的不同区域。

图2显示了FPVD方法的位置估计误差，其中500个Monte-Carlo路径的观测时间不同。从图2中可以看出，FPVD方法的精度接近CRLB。随着观察时间的增加，FPVD方法和CRLB的精度都得到了提高。

图3显示了FPVD方法的速度估计误差，其中500个Monte-Carlo路径的观测时间不同。从图3中，我们可以得出相同的结论。因此，FPVD方法的位置和速度都具有高精度。

图4显示了FPVD方法的位置精度，X射线探测器的区域超过500个Monte-Carlo路径。观察时间是500秒。从图4中可以看出，FPVD方法的位置精度也接近CRLB，特别是对于大面积。并且随着X射线探测器面积的增加，FPVD方法和CRLB的位置精度都得到了提高。

从上述结果可以看出，FPVD方法的估计精度接近CRLB，具有不同的观察时间和不同的X射线探测器面积。因此，FPVD方法具有高精度。此外，长脉冲星观测时间和大面积X射线探测器对于FPVD方法的估计精度是有益的。

接下来，我们研究所提出方法的计算负荷。在本文中，FPVD方法的计算负荷与ML方法的计算负荷进行了比较。为了证明我们方法的优越性，我们假设没有关于航天器位置和速度的先验知识。表1显示了FPVD方法和ML方法的计算时间，其中500个MonteCarlo轨迹具有不同的观察时间。从表1可以看出，FPVD方法的总计算时间远远短于ML的总计算时间。在ML方法中，似然函数（LLF）被计算多次。并且LLF的计算时间长于FPVD方法的总时间。因此，即使搜索策略是最优的，ML方法也不能比FPVD方法快。此外，还可以看出，随着观察时间的增加，ML方法的计算时间增加，而FPVD方法的计算时间保持不变。原因是ML的计算时间与脉冲星信号的数量成正比，脉冲星信号的值非常大（大约为107-108）并且与观测时间成比例; 而FPVD方法的计算时间与箱的数量成正比，箱的数量非常小（大约103）。

最后，表2显示了使用500多个Monte-Carlo路径上的不同脉冲星的FPVD方法的性能。 包括PSR B0531 21，B1821-24和B1937 21在内的三种常用X射线脉冲星被用作导航脉冲星，其辐射波长为1.54ph / cm2 / s，1.93times;10-4ph / cm2 / s和4.99 10-5ph / cm2 / s。 由于这些X射线脉冲星的辐射光流非常弱，因此这些脉冲星的观测时间增加到1000秒。 从表2中可以看出，FPVD方法的准确度接近CRLB的不同脉冲星。 因此，对于不同的X射线脉冲星，FPVD方法具有良好的性能。

1. 结论

针对X射线脉冲星导航，提出了一种基于NML和LSM的快速定位和速度确定方法。 理论和仿真结果均证明FPVD方法的估计精度接近CRLB。 因此，它的准确性非常高。 我们利用脉冲TOA的变化来估计航天器的多普勒速度。 FPVD方法避免多次折叠大量X射线脉冲星信号，并且仅折叠这些信号一次。 因此，它的计算时间非常短，达到0.53s。 另外，FPVD方法具有较高的估计精度和不同的X射线脉冲星。

我们可以得出结论：FPVD方法精度高，计算量小，是X射线脉冲星导航系统的理想选择。

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