局域耦合振子系统中的螺旋波奇美拉态外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

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局域耦合振子系统中的螺旋波奇美拉态

Bing-Wei Li and Hans Dierckx

China,Belgium

PHYSICAL REVIEW E 93, 020202(R) (2016)

最新研究表明，对于一组相同的振子而言，奇美拉态（chimera state）同步与非同步共存。在这项研究中，我们在每个元素通过扩散局部耦合的三组分反应扩散系统中发现了旋转的螺旋波奇美拉的存在。当我们改变系统局部的动力或者逐渐增加催化剂的扩散系数时，我们可以发现平稳螺旋波向奇美拉螺旋波的过渡。我们在反应扩散系统中的螺旋波奇美拉态的研究结果表明，螺旋波奇美拉态可以在化学和生物系统中找到，并且可以由大量的间接耦合的振子通过扩散环境来模拟。

引言：集体行为(Collective behavior),通常发生在物理、化学和生物系统中，在过去的几十年里一直是非线性科学的热门研究主题。在神经系统和生物系统中，振子的相干运动是典型的可观察到的集体行为，这种同步现象被广泛认为对系统的功能和性能有重要影响。例如，心脏的不同步收缩可能由多个电螺旋波触发，最终导致心脏功能障碍。近年来，人们越来越多地注意到一种特殊的混合态，在这种混合状态下，同一个具有相同的耦合形式的耦合振子自发退化为一组同步而另一组不同步的状态。这种迷人的反常状态首次被Kuramoto和他的团队发现，并称之为“奇美拉态”。奇美拉态的存在在不同的系统中得到了实验证实，比如耦合映射、化学振子以及机械摆。在二维系统中，奇美拉态通常以螺旋波的形式存在，这些所谓的螺旋波奇美拉在螺旋臂中表现为固定相位而在螺旋中心表现为随机相位。螺旋波奇美拉被进一步证实可以采用非局域耦合Kuramoto型方程求解。最近，螺旋波奇美拉态在化学振子中进行了实验报道，并在非局域耦合的复杂混沌振子中进行了数值模拟。

最初人们认为奇美拉态是由非局部耦合引起的。系统中的每个振子在一定的相互作用范围内受到一组振子的瞬时影响，并且它的耦合强度随距离的减小而减小。因此，非局域耦合是局部与全局耦合的中间态。然而，最近的研究表明奇美拉态发生的非局域性条件可以进一步放宽。例如，一种称之为“振幅介导”的普遍的奇美拉态能够在全局耦合的条件下被观察到，最近，在纯局域耦合网络中的奇美拉态也被报道。

值得指出的是，一方面，在Kuramoto的开创性工作中，观察螺旋波奇美拉态的关键假设是反应扩散的第三个分量变化太快，可以在绝热条件下忽略。这样，三分量反应扩散系统基本上被简化为具有一个额外非局部项的有效双组分系统。另一方面，为了观察实验中的奇美拉态，非局域耦合的实现依赖于计算机。因此，螺旋波奇美拉是否存在于一个各组分的时间尺度可比较的系统中或者其耦合是否类似于扩散等自然规律，这些仍然是悬而未决的问题。此外，经典螺旋波原则上可以向外或向内旋转，而所有的报道都显示螺旋波奇美拉都向外旋转，很少有向内旋转的螺旋波奇美拉的存在信息。

在这项工作中，我们宣布了在包含一种激活剂和两种抑制剂的三元反应扩散系统中螺旋波奇美拉的存在。若只与其中一种抑制剂耦合，螺旋波奇美拉中则发现了非扩散性的成分，其他扩散组分显示了相干的螺旋结构。此外，观察到螺旋波奇美拉向内旋转，相干波向随机相位中心传播，我们还宣布了一个具有光滑振动中心的螺旋波向奇美拉螺旋波的过渡。我们在反应扩散系统中的研究结果表明，奇美拉态的发生不需要非局部或全局耦合，这意味着可以由一个通过扩散环境间接传递的振子来模拟，以探索在实际的化学和生物系统中的奇美拉态。

反应扩散模型：我们从两个空间维度的三分量反应扩散系统出发：

（1）

这些方程描述了化学反应物,和浓度的变化。其中是活化剂，和是抑制剂。和分别表示和的化学物种的扩散系数。无量纲参数是一个非零常数，代表系统变量的特征时间尺度。原则上讲，参数可以被等参量替换。这个三组分反应扩散系统实际上是一个双组分FitzHugh-Nagumo模型通过耦合第三个变量Z的扩展，可用于研究油雾微乳液体系中分散的水滴在Belousov-Zhabotinsky（BZ）反应中图样的形成以及模拟放电中的质点动力学。

这项关于图样形成的研究在两个方面与以往研究有所区别，第一处修正与扩散系数之比有关，。传统意义上认为或者，但在我们的研究中，我们使或者。当时，我们考虑（1）式，从动力学的角度来描述大量的振子之间通过扩散环境相联系。这种模型可能与化学振子、遗传工程细菌、酵母细胞、社会变形虫盘基网柄菌等各种系统有关，第二个重要方面是时间尺度，在这项工作中，我们忽略了以前确定的第三个变量快速变化的关键假设（即）。

序参量：为了分析耦合振子的状态，我们引入振动相位，定义。我们在坐标系中定义相位，发现只有在这个坐标平面中相图为一个接近远点甚至在圆心处的极限环。由于几个观察到的状态在模拟坐标系平面上是不相干的，我们定义坐标为，相位为的振子区域。为了定量研究非相干振荡区域的大小，我们定义了时间平均序参量。

（2）

其中是振动相位。符号和表示包括自身在内的最近邻域。是一个标准化因子，表示在给定空间维度上具有最近耦合的振荡器的个数。在目前情况下，我们已知公式（1）中的扩散项能用五点离散拉普拉斯算子计算，并令。最后，在我们的模拟中，时间平均值是按照间隔时间计算的。根据近似地计算螺旋波奇美拉的半径。其中表示在的情况下沿着轴、轴移动时的格点最大距离。

结论：图1显示了只有抑制剂扩散（）的局部耦合反应扩散系统中螺旋波奇美拉的存在形态。

图1 在三组分反应扩散系统的螺旋波奇美拉，其中。(a)是变量的快照；（b）是放大的螺旋波中心方形区；（c）代表变量；（d）是相位的快照和；（e）表示在(d)中沿线的横截面。值得注意的是，螺旋核心对于变量是不相干，而对于变量则是相干的。（f）是沿着（a）的中间水平线的X的时空斑图，显示了波向螺旋波奇美拉核的传播。在图（a）-（d）中，波形顺时针旋转。

变量在螺旋波开始时的快照及其在核心周围的放大率分别示于图1(a)和图1(b)中，在螺旋波开始之后。变量在螺旋的核心是不连续的，而在原理核心处是光滑的，这与以前报道的非局部系统中的螺旋波奇美拉相似。此特点也适用于其他的非扩散性变量（图中未示出）。

然而，与和相反，对于扩散抑制剂，即使在螺旋核附近的区域，整个螺旋图案也相对平滑，如图1（c）所示。该系统的性质与先前报道的非局域耦合振荡器系统不同，描述振荡器的所有变量都表现出类似的奇美拉特征。

相应的相位分布以及对通过介质中心的水平横截面的位置（）的相关性分别在图1(d)和1(e)中示出。靠近螺旋中心，是非零的，这意味着螺旋中心周围的振子的相位是不连续的或不相干的。然而，在远离螺旋中心的区域，随着的消失，相位变得连续或相干。这种行为是一组相同振子的奇美拉状态的定义：一些以相干方式振荡，而一个局部振子群无序振荡。

图2 螺旋波奇美拉的转换。在的情况下，我们可以观察到一个相干螺旋波（a），当我们增加系统参数时，它逐渐变为螺旋波奇美拉（b）。进一步增加导致完全无序状态（c）的形成，其中。我们这里也显示相应的平均时间序参数【指（d）-（f）】以及沿着介质(g)–(i)的中心的时间序参量。除外，其他参数如图1所示。

值得指出的，在图1中的螺旋波奇美拉是向内顺时针旋转的，换句话说，我们可以看到相干波相位向随机中心传播。这也可以从图1(f)中所示的介质中心的水平横截面上的变量的时空图案中看出。15年前报道了向内旋转具有有序中心的螺旋波，也称为反旋波。然而，我们在反应扩散系统中观察向内旋转的螺旋波奇美拉。

为了更深入地了解螺旋波奇美拉的形成和稳健性，我们在模型参数a的扫描下研究它的行为。我们知道，当参数a的值增加时，系统（1）经由Hopf分岔从静止状态变为振荡状态，对于，我们找到了Hopf分岔点,对于但超出Hopf分岔点的情况，我们观察到图2(a)所示的具有光滑中心的向内旋转的螺旋波。从开始，螺旋波奇美拉态在图2(b）中出现。奇美拉态的非相干区域随着的增加而单调增长，直到非相干态完全布满整个平面。这种完全不相干的状态已经在图2中达到了，此时。

对于的不同值的时间平均有序参数示于图2d-2f中。在不连贯的奇美拉中心，比1小，而在外部区域由于相位的连续性。因此，在螺旋波的情况下，具有的区域是非常小的[如图2(d)]。相反，对于湍流状态，在任何地方，。这些事实可以清晰地从图2(g)-2(i)中看出，它显示了沿着的有序参数的变化。

图3 非相干奇美拉中心半径与的函数关系，

图3显示了奇美拉中心半径与a的函数关系，当时，半径，因此，在这种情况下，经典螺旋波出现了。然而，当在1.1和1.5之间时，非相干螺旋中心的半径显然是有限的，并且它比的数量级要大得多，对应于螺旋波奇美拉态，从这个图中，我们发现从螺旋波到螺旋波奇美拉的连续过渡以及由参数控制的从螺旋波奇美拉到完全湍流状态的突然过渡。

为了全面了解系统的局部动力学如何影响螺旋波奇美拉的行为，我们进一步研究了在的广泛的参数空间内奇美拉态的发生。结果在图4中。在这个图中，完整圆表示稳定的螺旋波奇美拉，完整的三角形和正方形表示螺旋波和非相干状态，交叉意味着振荡不能持续，在参数空间中，螺旋和螺旋波奇美拉之间的分离线几乎是垂直的，这意味着在确定这种状态方面起着关键作用。

图4 在参数空间中显示螺旋波（三角形）出现的螺旋波奇美拉态的相图，完全不相干状态（正方形）、螺旋波奇美拉态（全圆）和稳定态（十字）。所有图案都是在螺旋波开始时间后观察到。

图5 有限delta;对螺旋波奇美拉的影响 (a），螺旋波奇美拉态；(b)，中心开始分裂的螺旋波;(c)，光滑中心的螺旋波，(d)-(f)是相应的核心区域，如白色方形区域(a)-(c)所示，，此处时间间隔为。

具有有限活化剂扩散的螺旋波奇美拉：到目前为止，我们已经考虑了仅存在抑制剂Z的扩散的RD系统，即。我们自然想到：当我们将从零增加到有限值时，这种螺旋波奇美拉将如何变化，典型的结果如图5所示，对于，当我们将增加到时，螺旋波奇美拉仍然存在，核心区域变得平滑，但随着我们增加到，它会以某种方式分裂，进一步增加，最终导致具有光滑中心的螺旋波的出现， 如图5（c）和5（f）所示，这些结果是可以理解的，因为活化剂的扩散耦合具有平滑效应。

讨论：利用三分量反应扩散模型，我们已经表明螺旋波奇美拉可能在空间扩展的本地耦合振荡器系统中，这个结果是以前对奇美拉状态研究的一个有用和非凡的扩展，在我们的工作之前，螺旋波奇美拉只在非局域耦合系统中观察到。最近，报道了纯粹局部耦合网络中的奇美拉态，但是，这位作者并没有考虑螺旋奇美拉态，对于具有非局部耦合的系统，每个状态变量都会同时出现奇美拉特征。然而，在我们的发现中，只有系统的非扩散成分显示出奇美拉，而扩散变量在完全相干状态下被发现。而且，观察到的螺旋波奇美拉向内旋转，这在我们的知识中还未出现。当它线性耦合到扩散的第三变量时，我们的结果不限于特定的RD系统。例如，我们还发现Stuart-Landau振荡器系统中的螺旋波奇美拉与扩散环境耦合（结果未显示）。鉴于这些观点，本地（扩散）耦合中螺旋波奇美拉状态的发现拓展了我们的知识并提高了我们对耦合振子系统中奇美拉状态存在的理解。

定性而言，奇美拉核心的起源可以通过以下方式来理解：该系统可以被看作是受到变量的时空强迫的振荡器群（由和描述）,表现为相对平滑但不均匀。由于的振幅远离核心足够大（数字无法表示），这些区域中的振荡器可以通过强制来锁相。而在中心区域，其振荡振幅太弱，因此不足以将相位保持在一致。因此，人们观察到远离核心的振荡器的相干运动以及核心内振荡器的非相干运动。这种解释是表象的和简化的，未来应该进一步探索更准确和量化的解释。

以往未在自然实验环境中观察到奇美拉可能有各种原因，从我们的研究中我们注意到两个必要因素：首先，每个元素的局部动态需要是振荡的。其次，需要观测变量的几乎消失的空间耦合。最后，我们注意到在我们的研究中用于的系统（1）的基本性质是每个振荡器（由和描述）通过非均匀动力学环境间接耦合，从动态观点来看，它是由变量实现的。具有这种性质的系统可以表示一大类系统，例如浸没在无催化剂溶液中的化学振荡器颗粒，基因工程细菌，酵母细胞，和社会变形虫。因此，我们预计奇美拉态在生物或化学系统中很有可能用类似方程（1）的反应扩散方程式模拟。此外，虽然我们在Z变量中采用局部耦合的形式，在的极限情况下，抑制剂的这种局部偶合可能在不存在活化剂X扩散的情况下引起非局部效应。然而，这些非局部效应与传统的非局域耦合有很大不同（系统中的每个振子将在一定的相互作用范围内受到一组振荡器的瞬时影响），由于有限的，它们不仅是空间变化的而且是随时间变化的。尽管如此，具有局部耦合的系统在时间上表现出非局部效应，但在过去的几十年中一直被忽略

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