早期几何教学：评论外文翻译资料

早期几何教学：评论

原文作者 Jaguthsing Dindyal

摘要：本文的主要目标是以学术论文集为指导因素，对几何的教与学进行评述。它围绕着年轻的几何学习者的问题，如：我们应该怎样教、为什么教几何；几何思想的表示；几何的教与学；对学生几何学习的评估。笔者根据本文的文献和论文概述了他的观点，并对未来几何学教学进行了展望。

关键词：几何；空间推理；早期儿童

1 介绍

接下来，我将重点讨论构成本期刊的论文内容，并尝试解决在学校教育中关于几何学教与学的一些问题。有9篇来自大西洋两岸、涉及早期学生的实证研究。这九篇论文涵盖了几何或空间推理的各个方面（参见表1）：对称（Ng和Sinclair 2015），绘图（Thom和McGarvey 2015; Kostopolous，Cordy和Langemeyer 2015），二维和三维空间的的转换（Bruce and Hawes 2015），定义（Bartolini-Bussi和Baccaglini- Frank 2015），虚构的视角（van den Heu-vel-Panhuizen，Elia和Robitzsch 2015），对数字性质的理解和推理（Kaur，2015），空间推理（Hallowell，Okamoto，Romo和La Joy 2015）以及在解决问题时运用的空间和几何知识（Soury-Lavergne和Maschietto，2015）。表1中没有显示的四篇论文包括两篇关于专业发展/教师教育的论文（Tsamir，Tirosh，Levenson，Barkai和Tabach，2015; Moss，Hawes，Naqvi和Caswell，2015）和其余两篇学术性文章，这两篇文章一篇是几何教育（Sinclair and Bruce 2015），另一篇是几何推理（Mamolo，Rut-tenberg-Rozen和Whiteley，2015）。一些论文在处理几何学和空间推理的几个方面时有重复的部分。

表1所示的研究报告大部分是定性的，其中四篇采用了教学实验。除了Kostopolous等人在研究中报告的几个10岁左右的儿童外，这些研究中提到的儿童大多在4岁到8岁之间。这里作一个说明，童年是指一个孩子从出生到8岁之间的生活（经济合作与发展组织，2001年）。在这篇论文中，除了幼儿期这个词，早年这个词或者简单的儿童和幼儿也会被使用。

表1所列的研究报告中提出了几个问题。我将更加具体地关注以下几点：我们应该怎样教、为什么教几何；几何思想的表示；几何的教与学；对学生几何学习的评估。

表1 在这个问题上涉及的实证研究论文

2 几何和空间推理

表1中强调的论文都涉及到比较大的主题。其中主题包括：对称性、绘图、维度构造和解构，定义的使用，空间推理和问题解决。早期的几何学是上层数学教学中几何学这一课题的一部分。Sinclair和 Bruce强调了早期几何学的问题，他们声称数学教育研究会面临的挑战之一就是阐明应该教什么和为什么教的重要教育问题。

2.1 几何中应该教什么？

没有任何理由可以反对空间推理对儿童的重要性，然而，选择儿童在几何学中能做的以及要求他们在几何中做什么这一点是很重要的。莫斯等人提出，与其将几何学作为一个课题，还不如在早期将几何学分类、贴上标签，以一个动态的、空间的、富有想象力的方式介绍给儿童。

Kaur说，尽管对形状的推理涉及到例如二维到一维的维度转换，但是儿童几乎不接触一维物体（另见Duval，2005）。因此，儿童需要更多的经验，特别是他们通常以不同的二维或三维图形来进行观察。Hallowell等人通过观察飞机、固定形状，从而得出结论：“我们期望花费时间开发儿童的视觉和空间操作，当使用形状图来开发空间洞察力时会增强儿童的观察能力。”

可视化原则和中学数学标准由数学教师全国委员会（NCTM）在2000年公布的文件中特别强调指出。空间可视化—建立并操纵二维与三维物体和从不同角度感知对象的心理表征，是几何思想的一个重要方面。可视化的这一方面是Van den Heuvel-Panhuizen等人研究的重要组成部分，他们通过在荷兰和塞浦路斯与幼儿园的虚构观点（IPT）的想法来研究空间推理。有趣的是，他们的研究表明，两国数学能力与IPT表现有着显著的相关性，这是强调培养儿童可视化技能的重要原因。

学校几何学本质上是基于欧几里得性质，尽管在高中阶段除了综合方法之外，转化，坐标和向量方法对于学科的学习也有着重要的作用。早年，我们不希望孩子只专注于一些微不足道的方面，例如只识别平面图形和立体图形，并将其分类。Battista反复强调大多数几何思想是空间推理，因此，空间推理在几何学中是普遍存在的，不可能在这两者之间找到一条明确的界限。国家研究委员会（NRC），2006年）报告认为空间思维是一种可以学习的、可以被恰当使用的工具、技术，是向所有学生传授的一种基本且必不可少的技能。本期的一些论文集中在空间推理的某些方面，例如Bruce和Hawes，描述了他们对4-8岁儿童进行空间转换的研究，这是一种空间推理，作者的结论是，空间转换能力是可塑的，在实践中可以提高，这是相当重要的。他们甚至补充说，通过各种教师提供的课程和活动，有可能加速儿童空间转换技能的发展，但是否有必要加速则存在着争议。

2.2 我们为什么要教几何和空间推理？

我们在儿童期就教几何的原因之一就是希望培养孩子的几何思维，几何思维在几何学领域被看作是一种数学思维方式。我们希望能在儿童天性中培养几何思维。例如，Hoffer（1981）认为，在学习几何时，我们的目标是在学习者中培养五种重要的技能：视觉技能（识别，属性观察，解释地图，成像），口头技巧（正确使用术语并在阐述空间观念和关系时能准确交流），绘图技巧（通过绘图进行交流，在二维和三维中展现几何形状的能力，制作比例图，绘制等距图），逻辑技能（分类，识别基本属性作为一种标准，辨别模式，制定并测试假设，使用反例进行推理）和应用技能（将几何知识运用于现实）。虽然这套技能似乎更适合中学阶段的学生，但这些技能的发展是不能拖延的，因此必须在早期的学校教育中开始。

在儿童期教几何的另一个原因是我们希望培养孩子的空间思维能力。由于空间推理的发展能预测后期数学的成就，所以关注儿童空间推理的发展是十分重要的。尽管国家研究委员会（2006）并没有将空间思维视为学科学习的内容，但报告强调，空间思维的发展需要以下三个条件：空间，表征和推理；这三者都与几何有很强的联系。此外，国家研究委员会的报告强烈指出，空间思维是可以学习的，它可以并且应该在教育系统的各个层次上被教授。 Soury-Lavergne和Maschietto提出的将几何看作空间模型，认为这与空间知识有关。总的来说，这个问题的论文指出，几何和空间推理是非常重要的两个方面，应该被包含在儿童教育中。

还有其他强有力的理由来说明几何和空间推理为什么应该被包含在儿童教学中，例如，“学校数学原理与标准”（NTCM，2000）提出，从幼儿园到12年级的教学计划应使所有学生都具有：分析二维和三维几何形状的特征和性质，并发展关于几何关系的数学论证；确定位置，使用坐标几何和其他表示系统来描述空间关系；应用变换并使用对称来分析数学情境；使用观察、空间推理和几何建模来解决问题。

上述名单，从pre-K到12岁的整个教育范围，对于早年的孩子来说还不够具体。在同一套教材中，很难涵盖从几何到二维的对于各种学习者学习几何的教学目标。 一些与测量有关的几何概念在上面的列表中没有被突显出来，因为NTCM（2000）文件将测量作为一个独立的内容进行处理。另一方面，Usiskin（1987）声称，几何有四个方面：（1）数字的可视化，绘图和构造；（2）研究物质世界的空间方面；（3）用作代表非视觉数学概念和关系的工具；（4）作为正式的数学系统进行表示。除了最后一个方面，Usiskin提到的其他三个方面在早期教学中肯定是重要的。

3 几何思想的表示

表1中突出显示的论文既可以在纸笔环境中使用，也可以在计算机环境中使用，或者广泛使用。但几何的教学不可能什么图形都不使用。我们只能通过符号表征来研究几何对象（Duval，1999），Duval还补充说，在几何学中，我们使用的语言、符号和数字分别被归类为自然语言、符号语言、图形语言。为什么数字在几何中如此重要？也许，在几何中使用数字的唯一最重要的原因是一个数字会同时显示一些联系，否则将难以通过正常的话语提出。

几何图形只不过是一些抽象概念的表示，但儿童难以在具有相同几何概念的不同表示间建立联系，更糟糕的是孩子们有时会坚持一些原型的表现，这就是Vinner和Hershkowitz（1980）所说的概念图像。儿童使用原型对形状进行分类（参见Hershkowitz，1989），从一部分上来讲这可能源于孩子在课堂上的几何体验或者从标准教科书中收集到的方法。Kaur在她的研究中探索了原型的概念，认为静态媒体可能会产生一种特殊的绘图方式以此限制了学生的创造性，而技术可以提供更多的功能。另外，Tsamir等人指出，首先获得理想的原型，它往往是非典型的例子（例如大小或方向）却可以贡献原型。而且，孩子们对于相同的概念定义往往会产生不同的概念图像。对于年幼的孩子来说，使用几个正面例子和反面例子可以帮助他们更牢固地掌握几何概念，现在，技术的出现又为教师动态地呈现几何图形提供了非常好的机会。

我们通常使用几何中的术语图。在Thom和McGarvey的论文中，“图”这个术语经常被用来代表“图像”。作者把图像看作对对象内在和外在的模仿，作为几何思维方式的图像必须同时是我们现实世界中有意义的事物，另一方面，一些作者用不同的术语图，例如Diezmann和English（2001）声称图表是结构表示，并且由于缺少表面细节而不同于图像。

数学概念是抽象的，几何概念也不例外。我们在几何中绘制的图像仅仅表示的是几何对象而不是实际的对象。 Mesquita（1998）也强调了这个问题，他声称即使我们对抽象的东西感兴趣，但我们总是代表一个具体的对象，例如，绘制三角形时，该图可以表示抽象的几何对象或特定的具体示例。 因此，单独使用一个图像不能使学生区分两种不同的情况，这是初学者学习几何的主要问题。儿童在区分具体和抽象物体之间存在问题。其他研究人员也对图像进行了评论，例如Herskowitz，Parzysz和Van Dormolen曾经分享过这样的观点：“图”这个词本身是模棱两可的，因为它可以指代一个几何对象或者是这个对象的图形表示。这种模糊性对于年轻的学生来说是一个难题，因为他们不了解对象，他们的老师所提到的对象不是他们在教科书或者黑板上看到的图像，也不是他们意识到的图像。

当学生正苦苦学习几何概念时，教师需要谨慎地向他们呈现内容。在使用计算机进行学习的环境中Lowrie与一个6岁儿童一起学习，从而得出结论：

在他们的身心和认知发展的这一点上，他们（儿童）不能意识到三维物体需要以特定的二维形式表现出来，以便研究物体的特性。而且，这些学生已有的知识水平还不足以解释深层次的知识。

4 早期几何的教与学

孩子从小就有学习新事物的天分，但是他们的学习与成年人的学习是截然不同的。儿童不同于成年人，不仅仅在于所拥有的知识数量，也在于知识的质量上存在差异。本期的论文描述了用于教授儿童几何和空间推理的各种各样的物体，这些物体可以大致分为来自计算机环境或来自非计算机环境。De Moor（2005）对几何学的三个方面进行分类：定位、对图形和形状的构建和操作、几何和空间推理的一些教学资源。

4.1 来自非计算机环境资源

首先，对于空间方位的概念和关系，儿童不应该被局限于教室的四面墙内，他们需要有课堂内外的经验。儿童应该有机会逐步阅读，制作和使用简单的平面图。例如，Thom和McGarvey提出当孩子们走出校园，去创作他们的图画会怎么样。他们得出的结论是，当学生不再根据手势、口头表达、行为、交易等动作来进行绘图时，许多有意义的线索（思路）就被切断了。在其他情况下，孩子们需要从不同方位观察看到物体，De Moor（2005）所说的“从一个角度观察”。Van den Heuvel-Panhuizen等人利用儿童虚拟视角（IPT）的思想探讨了“从一个角度观察”，IPT是指从不同的角度使用了观察对象的静态图片。无论是使用静态图片，还是孩子需要在相应情境中亲身体验，都指出了学生只在教室内学习是不够的。

其次，在构建物体时，要给学生一些免费的构建材料（粘土，橡皮泥，绳索，箱子），几何建构建材料（乐高，花纹块，儿童钢建结构玩具，七巧板），纸（折纸，纸灯），在纸上构图（形状，图案）。

最后，对于形状和图形的操作，儿童应该有机会移动几何对象的模型，并注意在平移，对称和旋转等几何变换过程中发生了什么。这在Bruce and Hawes关于二维和三维物体的转换研究中突出显示，他们假设学生空间思维的改善可以产生“二合一”效应：空间推理的改进也可以看作是整体数学的改进。

4.2来自计算机环境资源

现如今儿童接触到大量的技术设备，如iPad，智能手机，电脑和许多类型的电子游戏和其他娱乐软件。这些技术设备已经为人们开发出了一些处理几何概念和空间推理的细微方法。在儿童教育中使用技术设备似乎越来越常见。一些文章通过使用这些技术设备对此问题进行研究，例如，Ng和Sinclair在对对称性的研究中使用了几何画板。Kostopolous，Cordy和Langemeyer在研究过程中使用iPad，而Kaur使用了交互式白板。Bartolini-Bussi和Baccaglini-Frank使用了一种小型可编程机器人。另一方面，SouryLaverg

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