1400-1625年前工业化时期北海地区风暴频率的重建及其与重建的温度时序的联系外文翻译资料

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利用小波变检测气候信号：如何制作一个时间序列

1. -M.Lau和恒逸翁

大气实验室

美国宇航局/戈达德太空飞行中心，马里兰州绿化带

摘要

本文介绍了小波变换(WT)在气候时间序列分析中的应用。一个关于WT的基本概念的教程描述，与在音乐中使用的类似概念相比，也提供了。利用时间序列的WT表示和乐谱之间的类比，作者说明了局部信息和全球信息在气候信号的时频定位中的重要性。通过分析信号和真实气候时间序列，展示了小波变换在气候数据分析中的应用实例。WT应用于两个气候时间序列的结果—那就是，代表性古气候时间序列，2.5 Myr深海沉积物记录lt;5180，以及140年的北半球表面温度月记录—被呈现。前者表明，与之前的研究一致，在目前的0.7 Myr下，存在40 kyr和100 kyr的振荡，以及振荡区域的突然转变。后者具有无数的振荡模式，包括年际（2-5年）、年代际（10-12年、20-25、20-60年和40-60年）和世纪（-180年）尺度。尽管在时间尺度上有很大的差异，但这两个时间序列的时间-频率特征的共同特征已经被确定。这些特征表明，地球气候的变化与在外部强迫下的非线性动力系统所表现出的变化是一致的。

1. 介绍

小波变换(WT)是一种分析工具，非常适合于研究在有限的时空域上发生的多尺度、非平稳的过程。自十多年前由Morlet（1983）引入以来，WT已经在多个科学领域得到了广泛的应用，如地震信号检测、图像处理、光学、湍流、量子力学，混乱、分形和医学研究等。虽然地球气候系统无疑具有上述特征，但似乎有些令人困惑的是，WT在气候信号检测和分析的研究中仍然缺乏应用。气候界对此明显缺乏兴趣，可能是因为大多数关于WT的论文倾向于使用一种普通气候分析师并不总是熟悉的数学语言。这就产生了一种范式，即WT只是数学专家用于纯粹学术追求的一种复杂程序，因此在气候研究中的实际应用有限。最近，小波分析开始侵入传统的大气和海洋学文献（例如，甘比斯1992年；库马尔和福福拉-乔治亚1993；游戏和布鲁明1993；高和李1993年；科利诺和布鲁内1993年；梅耶斯等人，1993年；翁和刘1994年；戈尔默等人，1995年）。然而，鉴于WT在非静止地球物理过程研究中的吸引力，毫无疑问，WT在气候研究中没有得到充分的利用和探索。本文的动机是为了纠正这种情况，并提请人们注意WT作为气候研究的有力工具的有效性，可以提供对地球气候的新的理解。

在本文中，我们首先利用气候数据分析中常见的信号分析形式来介绍WT的特征。然后，我们展示了WT在两个著名的气候时间序列上的结果，以证明可以从WT中获得的新见解。本文还通过提供WT的音乐模拟，为非专业人士提供了一个关于WT的教程。

1. 准备工作

本节旨在向新手介绍WT。熟悉WT概念的读者可以跳过到下一节。我们在这里将不提供严格的数学推导。为此，读者可以参考文献中许多优秀的评论论文和教科书(例如，Morlet1983；Combes等人1989；崔1992；多贝克斯1992；Ruskai等人1992；和许多其他)。

1. 本地和全球概念

一般来说，气候信号代表了在广泛的时空尺度上运行的物理过程之间相互作用的高潮。所涉及的过程范围从几米到几千公里的空间尺度，从小时到数百万年。作为检测气候信号的第一步，所涉及的气候参数通常在一个大的空间域上进行平均，如在整个全球、整个半球、整个大陆或海洋上。虽然空间平均消除了一些高频波动，但所得到的平均时间序列在时域上仍然具有广泛的变异性。通常情况下，气候时间序列是非平稳的，包括可能在时间上定位（相对于整个时间历史），或可能跨越数据记录的很大一部分。气候事件的发生部分由一组局部参数来表示其频率、强度、时间位置和持续时间。这些局部信号的时间积分特性提供了全局信息，描述了一段平均周期内的时间平均状态。通常，两个完全不同的时间序列具有不同的局部信息，可能会导致非常相似的平均状态。因此，重要的是要认识到，它是当地和全球信息的总和，构成了一个真正的气候信号。

在音乐中可以找到本地与全局概念的说明。一段旋律（时间序列）可以写在乐谱中（二维时频域中的时间序列的表示）。每个音符代表一个音调（信号），具有四个参数：频率（垂直位置）、时间位置（水平位置）、时间持续时间（节奏和不同音符1表示）和强度（Vs和p表示，以及重音和渐强/递减）。很明显，如果省略了所有的本地信息，那么几乎不会剩下一段音乐了。例如，如果我们计算一段音乐中每个音调的出现，按相同的音调单位进行缩放，我们会发现主音调是主和弦的元素，属于大音阶或小音阶。这是一个旋律的全局信息，通常是在乐谱的开头发出的，如C大调或a小调等。然而，这些全球性的信息很少说明音乐的真实内容，许多不同类型的音乐可能共享相同的全球性信息(比如，C大调)。事实上，这一全球信息对应于一个气候时间序列的功率谱中的主要峰值。因此，我们可以在这里看到音乐和气候信号分析之间有一个很强的相似之处。显然，要定义一个真正的气候信号，就需要保存本地和全球的信息。但是，由于不确定性原理，不可能在不降低时间定位精度的情况下实现提高频率分辨率，反之亦然。传统的分析工具，如傅里尔变换或时间滤波器，在同时表示局部和全局信号时，在选择最优组合时没有提供太大的灵活性。正如我们将在下面所展示的，WT是一种非常适合用于这种目的的工具。

1. 从傅里叶变换到小波变换

在某种程度上，WT是傅里叶变换(FT)和加窗FT(WFT)的一种广义形式(Gabor1946)。傅里叶变换使用具有无限跨度和在时间上全局一致的正弦和余弦基函数。对于具有纯正弦波信号的平稳时间序列，其FT是一个线谱（图1，左面板）。傅里叶变换不包含信号的任何时间依赖性，因此不能提供任何关于其光谱特征的时间演化的局部信息局域信号的表示效率非常低，需要大量的傅里叶分量。在一个极端的情况下，一个信号在时间上由一个增量函数表示，该信号将由FT表示中的无限个分量表示。此外，如果时间序列在时间上发生反转，则新的时间序列将具有完全相同的FT表示，即使两个时间序列的局部信息完全不同。

在WFT中，在时间和时域的固定时频窗下检查时间序列。当涉及到较大范围的频率时，WFT的固定时间窗往往包含大量的高频周期和一些低频周期或部分周期（见图1，中间面板）。这通常会导致高频分量的过度代表和低频分量的代表不足。由于频率增量恒定，WFT在极低的频段没有足够的分辨率；传输的大部分计算工作都花在了高频分量上，这导致了大量的杂散谱峰。

WT使用广义的局部基函数（小波），它可以在频率和时间上以灵活的分辨率进行拉伸和平移。灵活的窗口自适应整个时频域，称为小波域(WD)，它在聚焦高频信号时变窄，在搜索低频背景时变宽。因为“测不准原理”，时频窗口的宽度和高度不能是任意的。因此，可以以降低频分辨率为代价，实现高频波段的高精度时间定位，低频分量反之亦然（图1，右面板）。通过这种方式，WT允许小波被缩放以匹配大部分的高频和低频信号，从而以最少的基函数获得最优分辨率。这种“放大”特性是WT的一个独特特征，它允许在时间上定位非常短的高频信号，如突变，同时更准确地解决时间尺度上或频率上的低频变化，相对容易计算。

在数学上，WT将信号s（t)分解为一些基本函数Psi;b,a(t)，由“母小波”或“分析小波”的Psi;(t)

(1)

：式中，b表示小波的位置（平移）和a（gt;0）的比例（扩张）；Psi;b,a(t)被称为“子小波”，或者简称为“小波”。（1）中的能量归一化因子(a)_1/2使子小波的能量与母小波的能量相同。实信号s(t)对分析小波Psi;(t)的小波变换可以定义为卷积积分：

(2)

其中，Psi;*是定义在开放的“石灰和尺度”“实(b，a)半平面”上的复共轭。利用反演公式可以从小波系数正式地重构函数s(t):

这里

并且Psi;是傅里叶变换的Psi;。

1. 图示

一种表示WT系数的直观方法类似于在音乐音谱中表示音乐音调的方式。WT领域的先驱们借用了“八度”的概念，即频率或时间尺度为2的对数，作为一个单位来划分频域。这个单位允许我们包括一个广泛的尺度范围，从非常小到非常大，以一种有效的方式在一个坐标系统的线性区间在八度，而对数在频率尺度。

在一个连续的WT中，需要更多的尺度分解，每个八度可以被无限的声音进一步划分。实际上，声音是有限选择的，因此在WD中任意两个连续声音之间的音阶比是固定的。例如，任何水平的两个连续声音/和/ 1的标度比是i/amM=常数。八度m和音阶的表达式是a。=和2m i/v，其中m，i0lsquo;v是每个八度的声音数，a0是八度0和声音0的比例，可以自行设置。在音乐中，可以选择一个0来表示中间C处的时间尺度（与频率的倒数成正比）。因此，与将一维时间序列映射到一维光谱的FT不同，WT将一维时间序列映射到二维图像，它描绘了尺度和频率随时间的演化。通常，连续WT的系数在时间尺度{b，a}半平面，时间b轴上有线性尺度，指向右，对数尺度，随着八度的增加尺度朝向向下（图2）。为了解析局部信号，选择分析小波Psi;(t)，使它在某个区间(tmin，tmax )半平面中的结构域可以受到一个点的影响(b0，a0）主要位于-b0=aA定义的“影响锥”内，其中我们将使用Morlet小波的=2^2/1（见下一节的表达式），顶点位于点（b0，a0），如图2所示。实部、W(b、a)的模量、相位，可以在同一WD中分别绘制。尺度范围的选择取决于时间尺度的频率内容。对于低频（高频）变异性，需要一个只包含较低（较高）八度的音阶范围，类似于音乐中的低音（高音）谱。一般来说，将使用覆盖频谱两端的连续尺度。因此，WT将一个信号分解为“局部”或“瞬时”频率，并测量每个频率的强度和持续时间，类似于一段音乐中的低音/高音、渐强/降音和节奏。换句话说，WT让一个时间序列唱歌！

1. 小波选择

有许多常用的分析小波，它们可以主要分为两大类：连续小波和正交小波。（离散小波变换可能不是正交的）。地球物理学中应用最广泛的连续小波之一是复波雷小波，它由高斯包络修正的平面波组成。另一个常用的连续小波是“墨西哥帽”，它是高斯函数的二阶导数。最简单的正交小波是基于一个盒子函数的Haar小波。其他广泛使用的正交小波是不同阶的多贝斯小波，得到紧密支持(Daubeches1992)。也有半正交的小波，如样条小波(Chui1992)。对这些小波的特殊性质的描述可以在上述的参考文献和教科书中找到。在这里，我们不会讨论使用一个小波而不是另一个小波的利弊。我们可以这样说，虽然一个真正的物理信号应该独立于小波的选择，但为了得到最好的结果，我们需要使用在形式上与信号具有合理相似性的分析小波。一般来说，正交小波适合用于分解和重建具有最小基的时间序列，以及求解微分方程（偏微分方程）（Perrier 1989年；Liandrat等人。1992年）。然而，正交小波可能并不总是产生最具物理意义的尺度分析，因为尺度只在八度（整数幂）进行分析，而不是在声音（分数幂）进行分析。连续小波的冗余性增强了时间尺度定位的信息。然而，由于基础过于完整，这些信息可能不能提供一个完美的重建。因此，正交小波更好地用于综合和数据压缩，而连续小波更好地用于尺度分析。在很多方面，上述连续小波的缺点可以通过选择一个合适的连续小波基的离散子集来减少，从而使该子集构成一个拟正交帧，称为“小波帧”。另一方面，使用适当的插值可以使从正交小波基中计算“连续的”小波系数。小波帧和插值允许用户将连续波的冗余和几何特性与正交波的经济性结合起来。因此，在实践中，连续WT和正交WT之间的区别可能不那么重要，而更多地取决于应用的目的。在本文中，我们处理波状信号，因此使用由给出的连续Morlet小波（见图3）

计算Morlet小波变换的方法与Weng和Lau（1994）中所述的相同。人们也可以使用其他的连续小波，比如墨西哥帽。使用Morlet小波的优点是它的复杂性，能够检测到时间序列中不同频率的与时间相关的振幅和相位。

1. 分析气候信号

气候信号检测中最重要的问题之一是确定存在较大的气候变化时的趋势。下面，我们将说明在地球气候变化中常见的四个一般信号的WT（图4）：

调幅信号（6）通常存在于气候系统中，涉及不同尺度之间的非线性相互作用或频率分量对其边带的干扰。在WD中，我们将八度0定义为有8个时间单位的周期。因此，八度1和八度2分别对应16和32个时间单位，以此类推。在这种情况下，每个八度音阶被四个声音分开。方程（6）表示一个基本周期为32个时间的振荡信号单位（八度2），其振幅被较长时间的256个时间单位调制。在WD(图4a的下面板)中，主频是一条以八度2为中心的水平线，反映了基本周期性在时间上的稳定性。小波变换中波形的正负相与原始时间序列中的正负相对应。波形中轻微的相位倾斜表明存在主频率的侧频带，在相应的FT功率谱中也可以看到(图5a)。（6）的膨胀表示三个频率w和wplusmn;Omega;的叠加，其中构造和破坏性干扰导致Omega;对w的调幅。

如果气候系统的基本物理特性经历了长期的变化，如由于全球变暖而导致的大气湿度的增加，那么调频信号（7）可能是重要的。这可能会改变大气的稳定性，并改变其正常模式的频率。解析信号(图4b的上面板)是一个随基频演化的振荡，并向时域的中心增加(t=256)。在WD(图4b的下面板)中，这个信号表现为振荡元素，形成一个拱形，从八度2开始，在t=256下降到小于八度0，然后在f=512返回到原来的尺度。由于频率是不断变化的，而且任何给定的单一频率在有限的时间内都不存在，该时间序列的傅里叶光谱(图5b)没有明显的显性峰，与噪声难以区分。

另一个重要的气候信号是与频率突变有关的信号。这可能会在具有长期影响的灾难性事件的发生中被发现。方程（8）显示了一个突变在原始时间序列中，在t=256附近出现的振荡。在WD(图4c的下面板)中，这表现在t=256时从八度3到八度1的变化。在t=25

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