在聚合运算下的最小费用的共识成本模型外文翻译资料

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Minimum-Cost Consensus Models Under Aggregation Operators

在聚合运算下的最小费用的共识成本模型

摘要：在群体决策中，一致模型是决策工具帮助专家修改他们的个人意见来达到更相似的一致。基于最小成本一致的概念，本文提出一个框架来得到最小成本下的一致。分析结果显示，被提议的框架减少到Ben-Arieh的一致模型。更有甚者，本文更近一步用线性成本函数检验了最小成本一致。基于线性程序的方法也可以用于解决那些模型问题。

I Introduction

II 正文前书页

1. 一致模型的框架

许多的研究者已经研究了一种类型的一致模型，这种模型基于“soft”共识程度而且需要专家们修改他们的观点来达到一个更接近的一致。专家间的一致水平是通过求一致的方法计算个体观点之间的不同性来得到。最后，当一致水平不可接受时，会使用反馈过程来调整各自的意见，这个过程会一直重复直到得到既定的一致水平。

如下是一个共识模型的一般框架

分析该框架反映出一个共识模型的三个关键因素，包括：一个聚集操作符，一个达成共识的措施，一个反馈的过程。使用不同的聚集操作符，共识措施，反馈过程会得到不同的GDM问题的共识模型。在Herrera-Viedma et al.模型中，聚集操作符是OWA操作符；共识措施是通过比较可选的个体解法和集体解法的情形来得到的；反馈过程是基于临近度量。

B.集成算子

这一节介绍集成算子的概念。在数字环境中，集成算子是一个函数，这个函数把一个真实的数字o赋值与(o₁, o₂, . . . , o_n)

o = F(o₁, o₂, . . . , o_n).

n维的加权平均运算符是函数WA，Rn → R，权向量w = (w1,w2, . . . , wn)T，使

n维OWA运算符是函数OWA，Rn → R，权向量w = (w1,w2, . . . , wn)T，使

{sigma;(1), . . . , sigma;(n)}是{1, . . . , n}的排序，使得osigma;(iminus;1) ge; osigma;(i) ，其中 i = 2, . . . , n.

当权值向量是w,加权平均运算符是WAw，OWA运算符是OWAw。

C.最小费用的共识模型Ben-Arieh et al

1. 共识水平和共识成本：Ben-Arieh et al开发了最小成本共识模型。本文第一次介绍了共识水平和共识成本，这些概念用于最小成本共识模型。

对GDM的问题，n个专家的意见记为集合E = {e1, e2, . . . , en}，oi代表第i个专家的最初意见。最常用的方法是距离测量，这也是应用最小成本共识模型。通过计算|oi minus; o|,i = 1, 2, . . . , n，第i个专家的共识水平也可以被测量。当在预设的极值ε处，对所有i = 1, . . . , n满足|oi minus; o| le; ε，本文讨论专家意见达成可接受的共识。另外，本文建议修改最初的意见达成既定的共识水平。

让oi代表第i个专家修改过的个人意见，让o代表修改过的一致意见。与此同时，Ben-Arieh和Easton定义专家i的观点从oi到oi的线性共识成本：fi (oi, oi) = ci |oi minus; oi|（5）本文采用这个定义。

1. 线性成本的最小成本共识模型

让oi和o如上定义。在oi中取得共识的最重要的是任务是以可接受的共识找到已调整的个人意见。一般情况下，目标是使共识成本最小化。因此，最小成本共识模型可以被表示为最优模型。

（7）

把模型（7）记为p1。让Omega;1代表p1对应的可行集。

对p1，如果专家的观点在ε的误差之内属于o*,则不需要改变。

引理 1：让{olowast;1, olowast;2, . . . , olowast;n, olowast;}代表p1的最优解法，就得到以下结果：

（8）

当寻求最优调整过的一致观点olowast;时，引理1保证p1可以 由以下等式模型来表示：

III.最小成本共识问题的新说法

1. 提议的模型

集成算法被用于从个人观点中获取共识观点。在共识模型中集成算法是很重要的。当使用个人观点的距离和共识观点来测量共识水平时，专家共识水平根据选择的集成算法的不同而不同。所以，研究集成算法下的最小成本共识模型很有必要。本文正式提议一种最小成本共识模型的新看法。所提议的模型使达到共识的成本最小，也就是

同时地，{o1, . . . , on}也有了可以接受的共识水平。

然而，本文讨论调整过的一致观点o是有集成调整过的个人观点

oi (i =1, 2, . . . , n)得到的,即：o = F(o1, o2, . . . , on).

所以，最小成本共识模型可以描述如下：

（10）

把模型（10）记为p2，让Omega;2代表P2相应的可行集。

B. P1的内部聚合算法

这一章通过分析p1的内部聚合算法来检测p1和p2之间的关系。考虑OWA运算符的权向量wlowast; = (1/2, 0, . . . , 0, 1/2)^T.利用OWAwlowast;聚合p2中的专家观点得到以下模型：

把模型（11）记为p3，让Omega;3代表p3对应的可行集。

引理 1： 让olowast;i (i = 1, 2, . . . , n)和olowast;代表最优调整个人意见和由p3得到的调整过的一致意见。然后，{olowast;1, olowast;2, . . . , olowast;n, olowast;}是p1的最优解。

C.讨论

IV.在一些通常算法下的最小成本共识模型

考虑在p2领域内不同的聚合算法的最小成本共识模型。

1. 加权平均算法

选择WAw作为运算符，模型如下：

模型（12）记为p4.而且，Omega;4代表p4对应的可行集。

引理 3：

P4的最优解可由13-19得到。

B.OWA运算符

选择OWAw作为p2的运算符，模型如下：

很显然，模型20不是线性的最优模型很难解决。本文考虑模型（20）的两个特例。

1. 案例A: 调整观点1的成本对任一专家来说都是一样的。在这种情况下，相应的共识模型有确切的含义和可以在达到既定的共识水平时最优地保留原始的观点。
2. 案例B: 所选的OWA运算符的加权向量是w = (0, 1/(n minus; 2), . . . , 1/(n minus; 2), 0)^T .在GDM问题中，每个个体都有他的真实目的并会不断地获取偏好的信息来达到自己的目的。为了防止这样的战略操纵，OWAw运算符广泛的应用于很多GDM问题中。比如说，在奥林匹克竞赛中，最高分和最低分被删除然后求平均，这个过程涉及到OWAw。显然，在GDM中使用OWAw时专家人数应该大于2.具体细节在下面两个例子中讨论。
3. 案例A:在这种情况下，模型（20）转化成以下模型。

{sigma;(1), . . . , sigma;(i), . . . , sigma;(n)}是{1, 2, . . . , n}的排序，保证osigma;(iminus;1) ge; osigma;(i)。

在介绍解决模型（21）的方法之前，先介绍一个新的模型

约束条件osigma;(i) minus; osigma;(iminus;1) le; 0 (i = 2, . . . , n)，保证sigma;(i) = delta;(i) (i = 1, . . . , n)，使得：

基于（23），模型（22）可以看作：

模型（21）和（24）看作p5和p6，让Omega;5和Omega;6分别代表p5和p6相应的可行集。下面介绍引理2和引理3.

引理 2： 对任意x1，x2，y1和y2，有|x1 minus; y1|

|x2 minus; y2| le; |x2 minus; y1| |x1 minus; y2| ，如果 x1 le; x2 且 y1 le; y2。

引理3： {olowast;1, . . . , olowast;i , . . . , olowast;n, olowast;}代表p5的最优解法。如果olowast;p lt; olowast;q且 op gt; oq,则

是p5的最优解。即：

1. 案例B: 这个案例考虑OWA的加权向量w = (0, 1/(n minus; 2), . . . , 1/(n minus; 2), 0)T。得到以下模型：

把模型（25）作为p7，在解决p7之前先提出引理4.

引理 4：当os = mini{oi}，o_r = max_i{oi},p7可做以下描述：

下表是p7的解法

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