梯形模糊语言优先平均加权算子及其在多属性群决策中的应用外文翻译资料

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梯形模糊语言优先平均加权算子及其在多属性群决策中的应用

Rajkumar Verma and Bhu Dev Sharma

Department of Mathematics,Jaypee Institute of Information Technology,Noida-201307,Uttar Pradesh,India

摘要：优先加权平均（PWA）算子最初是由Yager提出来的。考虑属性和决策者的优先次序是PWA算子最突出的特征。基于PWA算子的概念，我们提出了一些优先加权集结算子来集结梯形模糊语言信息。本文对新集结算子进行了详细的研究。此外，基于提出的算子，提出了一些方法来解决梯形模糊语言环境下的多属性群决策问题。

关键词：多属性群决策（MAGDM）；梯形模糊语言变量；优先加权平均算子；梯形模糊语言优先加权平均算子；梯形模糊语言优先加权几何算子；梯形模糊语言优先加权调和平均算子

引言

在多属性决策的过程中，信息集结是从各种来源中收集相关信息的一个重要过程。在文献中，运用许多种集结算子来集结数据信息[1-4]。由Yager提出的有序加权平均(OWA)算子是一种众所周知的集结算子[5]，它提供了集结算子的一个参数化群，包括最大值、最小值和平均值。自从提出OWA算子，它引起了学者们的广泛关注并且被运用于许多领域[6-28]。Chiclana等和徐泽水和达庆利在OWA算子和几何平均数的基础上提出了有序加权几何（OWG）算子。对OWA算子更有趣的拓展是广义OWA（GOWA）算子，它在OWA算子中引入广泛定义。

然而，在某些情况下，由于时间压力、知识缺乏、人们对问题领域有限的专业知识，输入参数的形式是语言变量而不是实数。Bordonga等人[6]利用OWA算子来解决语言环境下的群决策问题。Herrera和Martiacute;nez [30]建立了语言二元组计算模型来处理语言信息。为了集结不确定性语言信息，徐提出了不确定语言加权平均（ULWA）算子、不确定语言有序加权平均（ULOWA）算子和不确定的语言混合平均（ULHA）算子。徐介绍了一些不确定性语言几何平均算子，包括不确定语言几何平均（ULGM）算子、不确定语言加权平均几何（ULWGM）算子、不确定语言有序加权几何平均（ULOWGM）算子和诱导不确定语言有序加权几何平均（IULOWGM）算子，同时，提出了解决不确定性多语言关系的群决策问题的方法。卫定义了不确定语言混合几何平均（ULHGM）算子并将其应用于群决策中。此外，徐提出了一些集结算子来集结三角模糊语言信息，例如模糊语言平均（FLA）算子、模糊语言加权平均（FLWA）算子、模糊语言有序加权平均（FLOWA）算子和诱导模糊语言有序加权平均（IFLOWA）算子。由徐提出的梯形模糊语言变量（TFLV）概括了语言变量、不确定语言变量和三角模糊语言变量，梯形模糊语言环境下对集结算子的研究是非常重要的。徐、梁和陈提出了梯形模糊语言加权平均（TFLWA）算子并将其应用于多属性决策问题中。魏和Yi提出了梯形模糊语言加权几何平均（TFLWGM）算子并给出了梯形模糊语言信息下群决策的一种方法。刘和苏提出了梯形模糊语言有序加权平均（TFLOWA）算子和梯形模糊语言混合有序加权平均（TFLHOWA）算子。另外，刘和苏提出了一些梯形模糊语言调和平均算子，例如梯形模糊语言有序加权调和平均（TFLOWHA）算子、梯形模糊语言混合调和平均（TFLHHA）算子并研究了这些算子的期望性质。基于Bonferroni平均值的概念，刘和金提出了一些Bonferroni平均值算子，例如梯形模糊语言Bonferroni平均（TFLBM）算子、梯形模糊语言Bonferroni加权平均（TFLWBM）算子、梯形模糊语言Bonferroni OWA（TFLBOWA）算子和梯形模糊语言加权Bonferroni OWA（TFLWBOWA）算子来集结梯形模糊语言相关信息。最近，在广义平均的基础上，刘和吴提出了一些广义梯形模糊语言集结算子并且应用于多属性群决策。

梯形模糊语言变量是处理不确定或模糊的信息非常有用的工具。在过去的几年内，以属性和决策者都处于同一优先级水平为假设，提出了许多梯形模糊语言环境下多属性群决策的理论和方法。但是，在现实生活的多属性群决策问题中，一般来说属性和决策者有不同的优先级。为了克服这个问题，基于优先加权集结算子的概念，本文提出了一些梯形模糊语言优先加权聚合算子，例如梯形模糊语言优先加权平均（TFLPWA）算子、梯形模糊语言优先加权几何（TLLPWG）算子和梯形模糊语言优先加权调和（TFLPWH）算子。考虑属性和决策者的优先次序是PWA算子最突出的特征。另外，我们利用这些算子提出了一些解决梯形模糊语言环境下多属性群决策问题的方法。

本文组织结构如下：在“前言”部分，简要给出了一些与梯形模糊语言变量和优先加权平均算子的相关概念。在“梯形模糊语言优先加权集结算子”部分，介绍了一些梯形模糊语言优先加权集结算子：梯形模糊语言优先加权平均（TFLPWA）算子、梯形模糊语言优先加权几何（TFLPWG）算子和梯形模糊语言优先加权调和平均（TFLPWHA）算子。同时，研究了所提出算子的一些属性。在“梯形模糊不确定语言信息多属性群决策”部分，运用这些算子来给出解决属性和决策者有优先级水平的梯形模糊语言多属性群决策问题的决策模型。在“数值案例”部分，介绍了一个算例来说明提出的方法能够应用于梯形模糊语言信息下的多属性群决策。“结论”本分给出了本文的结论。

前言

在本部分，我们简要回顾一些基本与梯形模糊语言变量基本概念和优先加权平均算子，这些在之后的分析中需要用到。

令是一个基数为奇数的离散的语言集。在任何标签下，表示一个语言变量的可能值，并且必须有以下特点：

1. 数据集排序：若，则；
2. 存在否定算子：，其中；
3. 最大算子：若，则；
4. 最小算子：若，则。

举例说明：定义为：

。

另外，我们扩展离散集合到连续语言术语集合。若，那么，我们称为原始语言术语，否则，称为虚拟语言术语。

一般而言，决策者使用原始语言术语来评估备选方案，虚拟语言术语仅仅出现在计算过程中。

定义1 两个语言变量之间的距离：设和为两个语言变量，那么和间的距离定义如下：

。 (1)

但是，在某些情况下，因为时间压力、知识缺乏和问题相关的有限指示等原因，决策者（DMs）提供的可能是模糊语言信息。为解决这种情况，徐定义了梯形模糊语言变量并给出了运算法则。

定义2 梯形模糊语言变量：令，其中，下标，，和是非减数且和表示隶属度的间距为1，和分别表示的上下区间。则称为梯形模糊语言变量，隶属度函数特征如下（见图1）：

图1 梯形语言模糊变量

(2)

特别的是，若，，和中任意两个相等，那么将退化为三角模糊变量，若，，和中任意三个相等，那么将退化为不确定语言变量。

定义3 梯形模糊语言变量的算术运算：令，，是三个梯形模糊语言变量，那么一些算术运算如下所示：

1. ，
2. ，
3. ，
4. ，

定义4 ：令，为两个梯形模糊语言变量，那么的可能度定义如下：

(3)

可能度的特征如下：

1. ，

特别地，如果，那么。

定义5 梯形模糊语言变量的期望值：令为一梯形模糊语言变量，那么的期望值定义如下：

(4)

最初由Yager提出的优先加权平均（PWA）算子定义如下：

定义6 PWA算子：令为属性值的集合并且属性值的优先线性排序为

，表示若则属性优先于。同时，令为属性的任一变量的综合评价值，且满足。若

(5)

其中，，那么称为PWA算子。

在下一部分，为了集结梯形模糊语言信息，我们提出了一些存在优先级的优先加权集结算子如梯形模糊语言优先加权平均（TFLPWA）算子、梯形模糊语言优先加权几何（TFLPWG）算子和梯形模糊语言优先加权混合平均（TFLPWHA）算子。

梯形模糊语言优先加权集结算子

梯形模糊语言优先加权平均（TFLPWA）算子

定义7 梯形模糊语言优先加权平均（TFLPWA）算子：给出一组梯形模糊语言变量，，那么TFLPWA算子定义如下：

(6)

其中，，，表示的期望值。表示 的下标。

注1：若集结优先级的水平降低到同等水平，那么TFLPWA算子降低到梯形模糊语言加权平均（TFLWA）算子：

(7)

紧接着，基于的运算法则，我们可以很容易证明以下定理：

定理1. 令为一组梯形模糊语言变量，那么使用TFLPWA算子得到的集结值还是梯形模糊语言变量，同时

(8)

其中，，表示的期望值，表示 的下标。

TFLPWA算子的优先级

P1.（幂等性）：令为一组梯形模糊语言变量，，，表示的期望值。表示 的下标。若所有的梯形模糊语言变量是相等的，即，那么

。 (9)

P2.（有界性）令为一组梯形模糊语言变量，，，表示的期望值。表示 的下标。同时，令

， (10)

。 (11)

那么，

。 (12)

P3.（单调性）和为两组梯形模糊语言变量，，，，表示的期望值,表示的期望值。表示 的下标，表示 的下标。若针对所有的，有，则

(13)

梯形模糊语言优先加权几何算子

基于TFLPWA算子和集合概念，我们给出了TFLPWG算子概念如下：

定义8 梯形模糊语言优先加权几何算子：给出一组梯形模糊语言变量：，TFLPWG的定义如下：

(14)

其中，，，表示的期望值。表示 的下标。

注2：若集结优先级的水平降低到同等水平，那么TFLPWAG算子降低到梯形模糊语言加权几何（TFLWG）算子：

(15)

紧接着，基于的运算法则，我们可以很容易证明以下定理：

定理1. 令为一组梯形模糊语言变量，那么使用TFLPWG算子得到的集结值还是梯形模糊语言变量，同时

(16)

其中，，表示的期望值，表示 的下标。

TFLPWG算子的优先级

P1.(幂等性)：令为一组梯形模糊语言变量，，，表示的期望值。表示 的下标。若所有的梯形模糊语言变量是相等的，即，那么

。 (17)

P2.（有界性）令为一组梯形模糊语言变量，，，表示的期望值。表示 的下标。同时，令

， (18)

。 (19)

那么，

。 (20)

P3.（单调性）和为两组梯形模糊语言变量，，，，表示的期望值,表示的期望值。表示 的下标，表示 的下标。若针对所有的，有，则

(21)

梯形模糊语言优先加权混合算子

基于TFLPWA算子和混合平均概念，我们给出了TFLPWHA算子概念如下：

定义8 梯形模糊语言优先加权混合算子：给出一组梯形模糊语言变量：，TFLPWHA的定义如下：

(22)

其中，，，表示的期望值。表示 的下标。

注3：若集结优先级的水平降低到同等水平，那么TFLPWHA算子降低到梯形模糊语言加权平均（TFLWA）算子：

(23)

紧接着，基于的运算法则，我们可以很容易证明以下定理：

定理3. 令为一组梯形模糊语言变量，那么使用TFLPWHA算子得到的集结值还是梯形模糊语言变量，同时

(24)

其中，，表示的期望值，表示 的下标。

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