摆线泵转子啮合刚度计算与分析外文翻译资料

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摆线泵转子啮合刚度计算与分析

刘曼涛 薛艳娜

（天津科技大学 中国天津 30000）

摘要：为了计算摆线泵转子的啮合刚度，提出了一种推导两展弦外摆线的关系式，并对内转子实际齿廓曲率半径值进行了计算和分析;基于赫兹公式，推导出摆线泵转子啮合刚度计算公式，绘制出摆线泵转子啮合刚度变化曲线，研究了影响摆线泵转子啮合刚度的一些重要参数。当外转子与内转子外凸型线啮合时，啮合刚度最大，当外转子与内转子中心内凹型线啮合时，啮合刚度最小。

0 前言

摆线针轮泵又称摆线针轮齿轮泵。与其他普通齿轮泵相比，它具有结构紧凑、噪音低、自吸性能好、适用于高速等优点，近年来发展迅速，广泛应用于食品、纺织、化工、机械等行业。为了准确计算摆线泵内、外转子产生的接触应力，必须对啮合刚度进行计算和分析。摆线泵是一种特殊的内啮合齿轮泵，又称摆线内啮合齿轮泵，它 具有结构紧凑、运转平稳，噪声小、寿命长和良好的高速性能等优点， 被广泛应用于液压系统中。

参考文献^[1][2]将齿原子间力和网格点法向位移视为正比，即啮合刚度为一个固定值。由于摆线针轮泵转子在啮合过程中的齿数是周期性变化的，其转子间的啮合力也是周期性的。同时，摆线针轮泵转子齿的啮合刚度也是周期性变化的，解决摆线针轮泵转子的啮合刚度对提高传动精度和分析机床动态性能具有重要作用。参考文献^[3] 分别基于赫兹公式建立了RV减速齿轮摆线针轮传动副的啮合刚度模型，基于石川公式建立了渐开线齿轮传动副的啮合刚度模型。参考文献^[4]对参考文献^[3]中的单齿啮合刚度进行了分析和修正，得到了新的刚度计算公式;参考文献^[5]采用考虑间隙的齿廓啮合分析方法计算环板式行星传动的啮合刚度。

这篇文章研究了两种产生短摆线线法的方法之间的推导关系，建立了摆线线泵转子的啮合刚度模型，得到了各啮合点的啮合刚度齿的啮合刚度，并分析其影响因素。

1 弧形外摆线的形成

摆线泵转子副由一对内啮合转子组成，如图1所示。外转子为内齿轮，齿廓曲线为一定数量的等分布圆弧曲线；内转子为外齿轮，其齿廓曲线为短齿外摆线的等距曲线。摆线啮合齿轮泵采用完整的连续封闭的短幅外摆 线等距曲线作为内转子齿廓, 外转子采用与其共轭的 均布的圆弧作为齿形。其结构简单、尺寸紧凑、外形尺寸小,运行平稳、噪声低、寿命长等, 且具有低速大排量等优点。因此, 在液压系统中广泛应用 。短外摆线的成形方法有两种：两圆内齿轮的成形方法和两圆外齿轮的成形方法^{[6] [7]}。

摆线转子齿轮泵简称摆线泵（也叫摆线转子泵），它与渐开线外啮合齿轮泵相比，具有结构紧凑、零件少、体积小、单位面积排量大、噪声低、流量脉动小、自吸性能好、适于高转速等优点，其缺点是效率较低。

与外啮合渐开线齿轮泵相比 ,摆线转子泵体积小、结构紧凑、零件少、重量轻。因内、外转子同向旋转两转子相对滑动速度小,且只相差一个齿,故磨损少、运转平稳、噪音小、寿命长。另外,摆线转子泵流体进、出窗口的面积及角度范围较大,使流体吸、排充分。又因流体是轴向吸入,在流体离心力的作用下有利于吸入流体充满齿间,不易产生“气穴”现象,且该特点在一定转速范围内,转速越高,吸入特性越好,容积效率越高。但摆线泵内、外转子中心的不可分性也给制造和装配精度提出了更高的要求；另外,摆线转子齿廓的机加工难度要比渐开线大的多,不过随着粉末冶金新工艺、新技 术的不断发展,这已不是太大的问题。由于摆线转子泵具有上述诸多优点,使摆线转子泵被广泛用作汽车、拖拉机、摩托车润滑油泵。作为燃油泵,在电喷汽油机和燃用柴油的燃烧机上及精密机床和工程机械的液压系统中也有应用。

图1 摆线泵

1.1摆线摆线齿廓两种成形方法之间的关系

所谓摆线是当一个半径为r的滚圆(也称动圆、发生圆或生成圆)沿着一条定直线(如图 2-3中X轴)作纯滚动时,其滚圆圆周上某一点E所画出的平面曲线称之为摆线,或旋轮线。有时为了与其它形式的摆线区别,也将其叫做普通摆线或平线(见图 2-3)。之所以称为摆线,是源于摆钟的等时运动元件钟摆的摆动轨迹(等时线)采用了该曲线形式。还因质点在重力的作用下从一点滚到另一点时，沿着普通摆线的路径滚过后所用时间最短,故普通摆线亦称作最速下降线或捷线。等时线和最速降线是摆线的两条著名性质。齿廓的两种形成方式是不同的，但只要达到一定条件，就可以形成相同的短切外摆线。

点Ob ，Og 是圆1和圆2的圆心，rb ,rg 分别是圆1和圆2的半径，并且rbgt; rg ,圆1和圆2相切。点P2 是切点，画一个圆与圆1(圆2)相切经过点P2 ；以Ob 为中心，以Rr =R r 为半径画一个圆，上述两条线在点M处相交。它可以将M点的轨迹视为在固定的平面轨迹中，当rb 滚动半径沿半径为rg 的基圆滚动时，M点的轨迹与外侧滚动相连。

分别连接线ObM 和P2M ，经过点Og作线ObM的平行线，经过点M作线ObOg 的平行线，这两条线相交于点O。因此，四边形OOgObM 是一个平行四边形。以Og为圆心，R 为半径画圆; 所以，也可以将M点的轨迹视为固定平面轨迹中与滚动外部相连的M点的轨迹，当r滚动半径沿半径为r的基圆移动时，纯滚动的偏心率为e= rb-rg。

图2 外摆线

因为四边形OOgObM是一个平行四边形，两个滚动半径rb , r 和两个基圆半径rg , R 具有以下关系：

因此，只要满足上述条件，两圆内啮合成形方法和两圆外啮合成形方法均可形成相同的弧形外摆线。

1.2内转子曲线方程

沿短幅外摆线上取若干点为圆心,并以r0为半径画若干圆,这些圆的内侧的包络线即是内转子的一个齿廓。该齿廓与短幅外摆线平行等距离,其等距值为r0。又因它处在形成包络线的一组圆的内侧,故称该齿廓为短幅外摆线圆内等距线。同理,若在这组圆的外侧画出包络线则称为短幅外摆线的圆外等距线。上述一组圆的半径r0 正是外转子的齿形圆半径。由图 2-5可见,若将内转子的齿廓向短幅外摆线逐渐地等距靠拢,这就意味着外转子齿形圆的半径r0在逐渐减小,当齿廓与短幅外摆线重合时,此时r0=0,齿形已不存在,即齿形圆缩成了一点,显然点是无法进行传动的,也就是说r0要大于0才能产生外转子的齿形,因此相应的内转子齿廓就必须用短幅外摆线的内等距线。若采用普通外摆线的等距线,则会因普通外摆线两拱之间存在尖点,而使普通外摆线的等距线齿廓也易产生尖点,因此在传动中会产生冲击。而长幅外摆线则在两拱连接处出现了交叉。所以普通外摆线与长幅外摆线均不宜用作齿廓曲线。只有短幅外摆线在两拱连接处有一段过渡圆弧,因此传动时比较平稳,冲击小。故目前摆线转子泵的内转子以及摆线针轮减速器的摆线轮均采用短幅外摆作为内转子的理论齿廓曲线。然而并非是任一短幅外摆线均可作为内转子的理论齿廓曲线,它是有一个合理的取值范围的。为便于评价,人们引入了一个名为短幅系数的特征参数K,其定义为 K=e/ rg。可以看出,0lt;Klt;1。在极端情况下,当 K=0,即e=0 时,其内转子理论齿廓曲线变成为滚圆中心点的运动轨迹,此时只是一个基圆的同心圆,而已不是摆线;若使 K=1,即e=rg,此时内转子的理论齿廓曲线已成为普通外摆线,而非短幅外摆线。实践和理论证明,当K=0.5～0.75时,摆线齿廓的承载能力最大,磨损最小。

因普通外摆线、短幅外摆线与短幅外摆线的内等距线(即内转子的齿廓)是对应的,那么因内转子的齿数Z1是整数且是均布的,所以普通外摆线、短 幅外摆线也应是完整的,并分别以基圆和圆G以 Z 1 拱均布。当在大于基圆以半径为rj (rg minus; e)的圆G上做Z1拱短幅外摆线后,便可用上述包络线法画出整个内转子的齿廓,即工作齿廓(也称实际齿廓),通常把短幅外摆线称作内转子的理论齿廓.

由上述已知,半径为rg的滚圆在半径为 rj 的基圆上自滚一个周长便产生一拱摆线,即相应一个齿廓。也就是说,若基圆上对应有Z 1个齿廓,其滚圆在绕基圆公转一圈后应自转 Z1个周长。

内转子理论齿廓曲线方程可以表示为:

内转子实际齿廓曲线方程可以表示为:

(4)

式中：Rr 为外转子齿廓均匀圆半径，Rr =R r , Z2 为外转子齿数，Z1 为内转子齿数，e 为偏心率，a 为外转子齿廓半径，是范围。

图3为Rr =55mm, Z2=7,e =5mm, a =20mm的内转子实际和理论轮廓线:

图3 内转子的实用和理论轮廓线

1.3 内转子实际轮廓的曲率半径

内转子的实际轮廓有外凸和内凹两种情况，如图3所示。内转子实际轮廓的曲率半径等于内转子理论齿廓的曲率半径加上外转子齿廓半径，因为

所以：

式中: rho;a 为内转子理论齿廓的曲率半径，rho;b为内转子实际齿廓的曲率半径，k为短幅系数。

图4是k=0.64，Z2=7，a =20mm，Rr =55mm的内转子实际轮廓的曲率半径曲线：

图4 内转子的实用和理论轮廓线

由于内转子的实际齿廓曲线方程交替出现外凸和内凹两种情况。曲率半径值也会交替出现正负两种情况。其大小为或，另外，这个过程需要的时间很短，它可以近似地认为曲线没有尖角，不会产生交叉现象。内凹面上的曲率半径值为正，最小值为，外凸上的曲率半径值为负，最小值为或；与内凹相比，外凸部分的变化幅度更小，过程更长，并且在一个周期内有两个波峰。

2摆线转子之间的啮合刚度

2.1变形长度分析

外转子啮合的齿廓曲线是如图1所示的圆弧曲线，可以看作是圆柱体。内转子啮合的齿廓曲线有外凸和内凹两种情况。摆线转子之间的啮合传动通过线接触进行。考虑到弹性变形，接触处的弹性变形是一个小区域，内转子和外转子之间的接触段是圆弧。关于内转子和外转子之间的啮合，可以假设变形长度为2L，齿宽为B，如图5所示，因此可以通过赫兹公式^[4]进行计算。

其中：

当内转子啮合廓线为外凸时，内转子与外转子为外接触，其中plusmn;取 。

当内转子啮合齿形为内凹时，内转子与外转子为内接触，其中plusmn;取-。

式中:a为外转子在接触点处的曲率半径，为外转子齿廓半径，F为接触点处的力摆线内转子与外转子材料的泊松比，E₁，E₂ 为摆线内转子和外转子材料的弹性模量，B为转子齿宽。

图5 内外转子的挤压变形

由于摆线内转子和外转子的材料是相同的，可以认为，E=E₁=E₂,则(6)可简化为：

2.2啮合刚度计算

2.2.1外转子与内转子外凸轮廓曲线之间的网格

外转子和内转子外凸轮廓曲线之间的啮合，根据图5中单个外转子啮合刚度的分析：

方程中: t_Z 是外转子在径向的挤压变形程度。

在这一点上使用泰勒公式，忽略a高阶无限小，代入(7):

因此，得到单个外转子啮合刚度:

类似地，在点使用泰勒公式，忽略高阶无穷小，获得转子啮合刚度：

综上所述，单个内转子与外转子的啮合刚度可写成：

2.2.2外转子与内转子内凹型线之间的啮合

由图5中单个外转子啮合刚度分析可知:

式中: t_Z 是外转子在径向的挤压变形程度。

在这一点上使用泰勒公式，忽略a高阶无限小，代入(7):

因此，得到单个外转子啮合刚度:

类似地，在点使用泰勒公式，忽略高阶无穷小，获得转子啮合刚度：

综上所述，单个内转子与外转子的啮合刚度可写成

2.2.3摆线转子啮合刚

由上可知摆线转子啮合刚度Ks为：

（20）

与内转子的外凸面啮合

与内转子的内凹面啮合

3 分析实例

根据式（20），转子齿宽B、摆线转子材料的泊松比和弹性模量决定了摆线转子之间的最大啮合刚度。转子齿宽B与啮合刚度成正比关系，泊松比P与弹性模量E与摆线转子材料有关。在实际应用中，摆线泵的内转子齿数大多为6齿，本文采用这种摆线泵进行析。根据参考文献[^8]，缩短比的最佳值范围为0.50至

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