关于由功能梯度不可压缩超弹性的材料组成的旋转圆柱壳的应力分析
文摘
本文使用超弹性理论对功能梯度材料组成的旋转厚壁空心圆柱壳进行了分析。通过使用被提出了幂律应变能函数和变量的材料参数进行超弹性行为建模。实验内容被认为是不可压缩的材料及材料属性被假设为圆柱体半径的幂律函数。材料不均匀性参数(n)是其幂律函数的一个幂。材料常数的应变能函数是由通过使用Levenberg-Marquardt非线性回归方法得到的实验数据来计算出的。通过轴对称平面应变状态的解析获得了所需的解析解。这之后,关于圆周的拉伸、径向应力、圆周应力和纵向应力根据径向函数被设定为不同的n值。结果表明,材料不均匀性参数(n)和结构参数(beta;:外半径与内半径的比)对由幂律变化的功能梯度材料组成的空心旋转厚壁的力学特征有显著影响。因此选择适当的n和结构参数（beta;）,工程师可以设计一个特定的功能梯度材料空心圆柱体来满足某些特殊的要求。
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- 介绍
通常，显示非线性行为的类橡胶材料被称为超弹性。超弹性是材料由于微小的力的作用而产生巨大的弹性应变并且没有丧失其材料的原始属性的能力。由于类橡胶材料的具体特点和经济优势[1]，导致被广泛的运用于不同行业的多方面的结构材料，例如壳体，导管、吊环、球体和垫衬，在石油化工、航空航天、生物医学和其他人类生活领域。
许多人一直在努力推导理论上的应力与应变的关系来符合超弹性的材料的实验结果。为了得到其简单的本构关系,研究其力学行为，包括新虎克和Mooney-Rivlin应变能函数。Mooney[2]提供了一个大弹性变形理论,Rivlin对橡胶的大弹性变形作了一个深入的研究。Blatz-Ko[3]提供了一个新的橡胶材料应变能函数。Yeoh[4]提出的一个应变能函数来描述碳黑填充橡胶硫化材料的行为。Ogden[5]构造了一个能量函数来描述基于应变能密度函数的橡胶固体弹性非线性大变形。在这些方法中,有一组系数必须确定。检查橡胶类材料的力学特性可以发现有由Beatty[6],Horgan和Polignone[7],Attard[8]写的文章和由Fu和Ogden写的专著[9]。近年来一些研究报告提出了橡胶本构模拟材料，如Anani和Alizadeh的作品[10]，Tomita及其他人等[11]，Coelho及其他人等[12]和Santos及其他人等[13]。
本文的主要涉及的是由细粒橡胶类材料制成的厚壁旋转圆柱壳制品，因此关于不同的轴对称外壳的研究和调查中，进行仔细审查和被提到了关键笔记。 Timoshenko和Goodier[14]在典型和复杂的教科书中把已经提出来多年的厚壳空心圆柱体弹性应力状态的平面应变和平面应力解析解问题作为例子。事实上，为特定厚度变化封闭形式的解决方案已经被发现并且Haerle提出了一种相似的技术对于任何厚度变化都可以使用[15]。圆柱被分成一系列的同轴吊环并通过一个用于收集这些吊环参数的图示法估计原始圆柱。此外, Feng[16]认为是不可压缩的旋转圆柱的弹性变形大和Mooney材料的圆柱应用控制方程的数值积分方法。考虑的可压缩材料是控制微分方程时非常重要，并且这些方程和边界条件的数值解的求值十分困难。并且圆柱的厚度和弹性性质在不同径向方向的差异必须被考虑。在德国研究承受过大的弹性形变的非均质的螺旋圆柱在具有争论方面的超级涡轮转子的探讨具有重大意义[17]。非线性控制微分方程的使用是避免通过考虑集成圆柱的不同薄同轴吊环，在运动方程、力平衡和兼容性关系而制成的吊环。一组非线性代数方程的获得必须被求解而不是使用控制微分方程。这是扩展Haddow和Faulkner [18]所使用的在考虑厚球壳的广义平面应力想法。
按性质分级的类橡胶材料是由Ikeda在实验室第一次提出的[19],一段时间后，这些材料在力学和几何边界条件的材料特性引起了研究者的注意。一些关于非齐次的类橡胶材料结构的应力分析的重要的和新的研究是这里提到的。例如,Bilgili及其他人研究的在力学和热应力方面，不同介质材料在橡胶制成的厚圆柱体上的应力分布的影响[20]。在另一项研究中，Bilgili[21]研究了由非齐次新虎克材料制成内部和外部表面的圆柱体的平面应变变形。Batra[22]研究了不可压缩胡克材料制成的圆柱体沿轴向方向不同剪切模量的扭力和一个截面的扭转角对剪切模量的轴向变化。
Batra[23]通过有限元法研究了一种非齐次Mooney-Rivlin材料制成的圆柱体的平面应变轴对称变形的数值分析。Batra和Bahrami[24]在考虑FG橡胶材料制成的圆柱形压力容器内部压力下。发现压力容器的压力组件，他们认为由FG Mooney–Rivlin材料组成的圆柱体的轴对称径向变形通过幂律或仿射关系与材料参数径向连续变化有关。最近，Anani和Rahimi[25]研究了FG橡胶制成的球壳的现象。他们认为，通过幂律函数，材料特性在径向方面有着差异，并且发现拉力和应力通过壳壁厚度的分布。
通过研究不同结构的测量发现没有分析由各向同性成品橡胶等材料制成的旋转圆柱壳的文献。因此,上述结构的应力分析是本研究的重点和精确分析了各向同性FG橡胶等材料制成的旋转空心圆柱壳在平面应变条件下所派生的应力分布位移。
- 问题公式化
图1显示了一个由各向同性等橡胶材料制成的旋转的厚壁空心圆柱壳在平面应变条件下随着内半径A和外半径B和其轴有恒定的角速度omega;，Pi和Po分别代表内部和外部的压力。圆柱被认为最初没有压力，假定是静态变形。圆柱壳未变形的和变形的结构分别用（R,Theta;,Z）和（r,theta;,z）表示。这些圆柱体的几何结构描述如下：
Ale;Rle;B，0le;Theta;le;2pi;，0le;Zle;L （1）
ale;rle;b， 0le;theta;le;2pi;，0le;zle;l （2）
圆柱的形变是Ericksen [26]提出的一种通用解决方案：
R=r（R），theta;=Theta;，z=Z （3）
变形梯度F,左Cauchy-Green应变张量B和左Cauchy-Green应变张量的主要不变量（I1，I2，I3）求解
（4）
（5）
，, （6）
J是行列式的变形梯度F，由不可压缩性条件可以得出：I3=J2=1，因此（rdr）=（RDR）=1，和径向变形被认为是：
（7）
b是圆柱体在变形的条件的外半径。为了求出b即使用边界条件。以下参数为简单介绍：
beta;=，=，=（beta;2（-1） 1） （8）
当是外半径的延伸和a是变形结构的内半径。因为是不可压缩超弹性材料,所以柯西应力为：
（9）
当p是受不可压缩性约束的液体静压力。W是应变能函数和W 1，W2是W关于I1，I2各自的衍生值，I是单位矩阵。厚壁旋转圆柱形的径向方向和边界条件的平衡方程表示为：
（10）
和 （11）
2.1关于公式W=W（I1，I2）
将方程式（5）和（6）带入方程式（9），柯西应力计算如下：
（12）
把方程式（12）中的和代替方程式（10）中的值，并联立关于r的有效值
（13）
并且通过计算方程式（12），和的计算结果如下：
（14）
（15）
b是由满足方程式（11）的第二边界条件决定的。
（16）
2.1.1 案例研究：提出了幂律应变能函数
提出的不可压缩材料的幂律应变能函数使用如下:
（17）
我们假设当时，mu;是在径向方向上的幂律函数不同的变化材料参数。材料常数“mu;”和通过使用Levenberg-Marquardt非线性回归方法决定的进行测试实验的橡胶材料。此外,n是材料不均匀性参数。和这个应变能函数在在分析大变形领域中边界值问题的封闭解的范例中作为一个有建设性作用角色，因为它的数学形式。这个能量函数应用于旋转厚壁圆筒形管，目的是为了找到一个符合他们分析的封闭分析解，由于有效的本构模型和简化的数学形式而得到的分析结果。通过考虑上述应变能函数,我们有 ，,并且通过把它们代入方程式（13）计算得到
（18）
通过上述方程式的求解，求得径向应力：
（19）
在
（20）
当2F1(a,b;c;x)是高斯超几何函数[27]。方程式（11）的第二边界条件用于查找圆柱体变形结构的外半径：
（21）
和利用方程式（14）（15）和（19）（20）计算：
（22）
（23）
- 结果与讨论
材料常””和””是由Batra及其他人对测试橡胶使用Levenberg-Marquardt非线性回归方法来决定的[28]。这个橡胶密度=930kg/m3另外由非线性回归方法计算得出=0.0521MPa和=1.5。
例如：假设被认为是两个内外半径为A=1m，B=2m和A=1m，B=3m的圆柱壳。角速度设定=2.5rad/s和=4rad/s对于不同的材料参数，n。方程式（21）用不同的值解决了在分别考虑=2和=3的情况下的b的值。
图2-5显示关于=2.5rad/s和=4rad/s对不同材料不均匀性参数，n时，圆周通过厚度的伸长比的规律。伸长比是通过厚度减少的内径时最大和无表面径向压力的外径时最小。延伸率增加通过增加结构参数(beta;)和omega;但减少通过增加材料不均匀性参数(n)。这个分布的发生是因为增加材料强度通过增加n。此外，不同角速度的伸长比的比率的减少通过厚度变化。例如，通过考虑beta;=2和n=2，当omega;=4 rad/s时内半径伸长比是1.106，伸长比omega;= 2.5rad/s。但在omega;= 4rad/s时外半径伸长比只有1.045，扩展比omega;= 2.5rad/s。此外，在每一个任意的角速度，延伸率在径向方向降低。例如，在omega;= 4 rad/s和beta;= 2的内表面，对于n = -4和n = 5的伸长比率比是1.785但是在外表面只有1.127。
图6-9显示了关于不同角速度的通过厚度分布标准的径向应力。标准化径向应力的幅度增加随着角速
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