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生产过程的动态监测：

灰色预测模型的一种应用

Ku, Li Lin, and T. C. Huang

摘要：本文运用统计控制图作为有效工具来改善和监测制造过程的质量。在正态假设下,当一个过程变量在控制范围内就认为这个过程处于被控制状态。 有时,这个过程作为一个短期的控制过程;但是,一旦数据显示生产失去控制,有缺陷的产品将已大量生产,特别是当过程表现出一个貌似正常的趋势行为或发生细微的变化。在论文中我们探索了预测和监控生产过程中灰色预测模型的应用。我们研究了基于检测过程变化的灰色预测控制图的性能。 平均运行长度（ARL）是用来衡量当均值漂移存在时的效力。当均值漂移时特别是当用于计算的灰色预测样本数很小时，我们发现灰色预测要优于样本均值。我们还发现灰色预测对样本数非常敏感。

关键词：平均运行长度 控制图 控制极限 灰色预测

1 引言

统计控制图长期以来作为一种改善和监测制造过程质量的有效工具。传统统计过程控制（SPC）方法假设过程变量服从正态分布，且研究数据相互独立。在正态假设下，当过程变量在控制范围内，就认为这个过程处于被控制状态；否则，过程假设发生变化，例如过程失去控制。

在许多情况下，过程显示在控制状态，而事实上过程已失去控制，如刀具磨损或原料耗尽。有时过程作为一个短期的控制过程：但是，一旦数据显示生产失去控制，有缺陷的产品将已大量生产，特别是当过程表现出一个貌似正常的趋势行为或发生细微的变化。虽然过程中这样的变动不易发现，但过程仍然是可预测的。如果过程失败成本非常大，那么尽快发现这些变动就变得十分重要。

在论文中，我们探索了预测和监控生产过程中灰色预测模型的应用。我们研究了基于检测过程变化的灰色预测控制图的性能。平均运行长度（ARL）是用来衡量当均值漂移存在时的效力。（ARL）意味着在失去控制信号产生以指示特殊情况之前，观测值的均值是必要的。我们希望（ARL）值较小，灰色预测值要与样本均值x相比较，所有步骤都进行模拟。当均值漂移时，且当用于计算的灰色预测样本数很小时，我们发现灰色预测要优于样本均值。我们还发现灰色预测对样本数非常敏感。灰色预测仅需少量样本以检测过程变化甚至变化很细微，这正是灰色预测的优势所在。我们可以调整样本数以便灰色预测值可以根据所需标准改变。

在下一章节，我们引出灰色预测模型并给出所提出监测步骤的概述。数字分析具体结果以及结论在第三部分给出，同时也给出了灰色预测值与样本值的比较。我们还作出了基于样本均值及灰色预测值的X条形控制图Ⅰ类误差。最后，在第四部分我们给出了基于结果的建议。

2 灰色预测模型和程序步骤

灰色系统是由邓聚龙教授提出的现在灰色系统理论已成功地运用于许多领域如管理、经济、工程、金融等。系统分为三种——白色、黑色和灰色。人们把信息了解得清清楚楚的系统称为白色系统。与之相反，黑色系统表示人们对系统信息全然不知。如果系统信息部分已知，部分未知，则成为灰色系统。

在制造流程中，操作环境、设施可靠性及雇员行为都是不可能完全得到了解和掌握的因素。为了控制系统行为，灰色模型用来构建一个常微分方程，然后求解灰色模型微分方程。运用稀缺的过去数据，灰色模型可以精确预测输出结果。得到预测结果，我们就可以检查过程是否失去控制。

本文我们通过GM（1,1）模型监控和预测输出结果。顺序监控这个过程是选择输出节点（通常是样本值），并在到达节点之前分析灰色预测累计结果。这个过程分为五步：

步骤1：收集原始数据建立数据序列观察到的原始数据定义为，为样本值的个数。原序列的k个样本值定义为

步骤2：把原始数据序列转换成新序列，新序列是由一次累加生成的，即

定义：

其中，i=1,2,hellip;,k

步骤3：建立GM（1,1）模型的一阶微分方程。通过把原始数据序列转化成一阶微分方程，时间序列近似为指数函数，得到灰色微分方程模型：

其中a是发展系数，b代表灰色输入。根据方程2和方程4，参数a和b可用最小二乘法估计。参数a的估计值为

其中：

步骤4：将上述方程进行参数估计以及计算，即可得到灰色累加值的预测值：

式中k=1,2,3,..

步骤5：检查过程：得到新节点（一个样本值）后，依次完成上述步骤直到预测过程出现异常情况。控制范围是基于X条形控制图，最高限和最低限将分别是

和。如果新预测节点超过或远低于限制就意味着过程失去控制，则需要进行调查；否则，过程继续受监控。

3 数值分析及结论

在这部分，我们给出模拟结果。我们假设过程变量服从正态分布，数据点产生于均值为3方程为1的正态分布。样本大小是3,5及7分别进行模拟。当样本量等于3时，X条形控制图的中线等于均值3，标准差等于。X条形控制图上下限位（，）。同样的步骤可分别用于样本量为5和7的情况。得到每个数据后就可以分析过程。所有程序用MATLAB语言写出，所有样本通过MATLAB生成。所有结果基于1000个重复抽样。

一旦得到X条形控制图的上下限，通过计算ARL来比较灰色预测值和样本值。模拟过程前10个样本受控制而第11个样本失去控制。一旦发现均值漂移不再控制范围，ARL会有记录。

我们来讨论均值漂移的下面三种水平：⑴标准差改变0.1的均值漂移。例如，均值偏离目标到0.1times;s 目标，其中s是上面所描述的样本值的标准差—在本文中，目标为3；⑵标准差改变0.5的均值漂移；⑶标准差改变1.5的均值漂移。

我们还比较了样本值的Ⅰ类误差概率和灰色预测值在同样控制范围内的概率。为了了解对用来计算灰色预测的样本数的敏感性和影响程度（即k值设为4,6,7和8），k个样本的原始定义为

其中k分别等于4,6,7和8。K=4时所观察的I类误差概率结果，样本值的ARL以及灰色预测值在表1给出。在k=6,7,8的情况下的结果在表2到表4中做出总结。（Sample size即为样本量）

表1

表2

表3

表4

表1,2,3,4分别为当k=4,6,7,8时，和灰色预测模型的I类误差和ARL。

样本值的Ⅰ类误差概率实际确定为0.0027，或 0.27%。这是因为X条形控制图是基于，其中和为第3部分假设值。如果过程变量服从正态分布，那么总平均概率会达到样本值标准差3以内，约为99.74%。从我们的模拟结果可以看出，灰色预测值对样本量非常敏感，即k值。从表1至表4可以看出，随着k值的增加，灰色预测Ⅰ类误差迅速增长。

一旦均值漂移水平变大，两者方法中的ARL都会变小；即发现失去控制情况变得容易。当k=4或6,灰色预测值支配样本值,但灰色预测的Ⅰ类误差比样本值大。当k值变大(k=7),样本值ARL和灰色预测值的差别并不明显,但灰色预测的Ⅰ类误差比的小。这意味着如果用灰色预测值,过程变化色指示出错概率会小。当k值增加到8,灰色预测的ARL作用不明显,但其Ⅰ类误差很小。

从我们的模拟结果可知,当k=4或6时,发现失去控制情况的灰色预测能力显著,但其Ⅰ类误差相对较大。当k值增加到7,样本值和灰色预测值的发现异常情况能力相似,但灰色预测有较小的Ⅰ类误差。

4 建议

总结来说,如果过程失控的代价很大,即恢复或补过的代价是重大的,用来计算灰色预测的样本数应该较小,因为灰色预测值对过程变化很敏感。当k=4时灰色预测的Ⅰ类误差很大,建议用k=6来监控过程。如果过程中断的代价可以忽略,建议用k=4。当k=6时,灰色预测的Ⅰ类误差较大。重点是当k=6时,灰色预测能迅速检验过程变化,即便是微小的变化,所以此处可以节约修补损失。同时由失去控制而产生的过程混乱能被预测和减少。根据不同的独立过程要考虑不同的优劣势。

如果损失代价较小,但中断过程代价很高,建议使用k=7,当k=7时,比较和灰色预测值,灰色预测的Ⅰ类误差较小;就是说,当过程实际受控制时,灰色预测有较小发现失去控制的概率。因为灰色预测的ARL很大,除非过程中断的代价是微小的，否则不建议将k值增加到8。如果失控和中断的代价都很高，可同时用抽样和灰色预测来监测过程。一旦灰色预测和样本值指出过程可能失控，在过程中断前就该做提前检查。

参考文献

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