统计套利
算法 交易 洞察与技术
（美）安德鲁 波尔著
第七篇章
量化逆转的机会
7.2在平稳的随机过程中的逆转
我们先来研究对最简单的随机系统进行的思考，也就是平稳的随机过程。价格应该是每天以相同的概率分布并独立产生的，这分布的特征是参数是不变的。我们应当假设一个连续的分布，在t这一天的价格将用大写字母Pt来表示，小写字母被保留给特定的值（如实现价格)。
考虑到这些后，马上提出以下几点：
1、如果Pt在分布的尾部，那么Pt 1很有可能比Pt更接近分布的中心。用正式点的话来说就是：假设Ptgt;95%，那么Pt 1小于Pt的可能性为95:5（19:1）。当然，Pt在其它位置也能得到相同的结论。
“Pt 1有19:1的可能性小于Pt ”与第一句话“Pt 1很有可能比Pt更接近分布的中心”所表达的并不是一个意思。“更接近中心”与“小于”并不相同。当然，这些比值以及它所暗示的内涵的情景是非常有趣的。为了保持完整性，对是否“更接近中心”的研究是很有用的。“更接近中心”的概念明显是正式的：它可以以价格来衡量偏离中心的量。另一种方法是，可以从价格在底层分布的百分比来考虑。这两种概念对于对称的分布函数是一样的，而对于不对称的分布函数就完全不一样了。
2、如果Pt很接近分布的中心，那么Pt 1很有可能离中心比Pt还要远。
仔细一想或许就觉得，第二点对于逆转的研究并没有作用；但联系上面所研究过的，接近中心的值对于标识未来偏离中心的可能还是非常有用的。回顾第2章的爆米花过程和第3章的随机共振就会发现这点。
在第1点中一个概括的概念为此次研究提供了一个潜在的研究点：如果Ptgt;分布的p%，那么Pt 1lt;Pt的概率就可以用p：100minus;p表示。有趣的是在这些例子中，概率是会越来越好的。投资者普遍喜欢那些能够为他们赢得更多赌注的策略，能够通过一个稳定的过程反映出的这样相对频率的结果。但思维过程是缺乏的，因为它自身的输赢在策略的稳定性上毫无意义，除了输赢本身 。基本信息对于判断是必须的，包括分别描述赢家和输家损失与收益的多少。例如一个策略输的可能为百分之八十，但却从来没表现出个人每次损失有超过百分之0.1的迹象，相反总能保持百分之1盈利，那这就是一个稳定的、盈利的系统。当需要判断一个说起来容易但其实比较复杂的概念时，例如“稳定性”，那就需要仔细规范地研究是否存在个人偏好问题。因为个人偏好是非常易变的，所以在解释概念时很容易导致意思无法正确被传达。
如果Ptgt;中间值，那Pt 1lt;Pt的可能将大于1；同样的，如果Ptlt;中间值，那Pt 1gt;Pt的可能也将大于1。这里连续性的假设是至关重要的，虽然价格序列是不连续的，但我们还是可以得到一个合理的近似结果。如果想要了解离散分布的相关问题，可以重温一下第4章的内容。
以下两个问题是显而易见的：
1、在交易中可以利用这些概率吗？
- 针对平稳随机过程中的人造数据。
- 针对使用局部数据定义的股票数据（有条件地近似于平稳随机过程）
2、在这种情况下如何定义“逆转”的概念？
- 回归到中心反转需要修改上述概率，比如75%--gt;50%和25%--gt;50%的情况。
- 想偏离中心的方向逆转—以便超过中心的情况被允许，而且前面概率的表现方式也更贴切。
在第一点和第二点中，哪个说法是合适的（在本章中，可以恰当解释为“对于价格序列的逆转的分析和解释是有用的”）？应该如何去描述逆转的特征呢？是否可以用向某一方向移动的百分比来表示呢（与分布无关的）？是否可以用价格移动量的期望值（平均值）作为逆转现象出现的标识？
这两个方面对于交易系统都是至关重要的。在传统的交易策略中，按照押注的方向和价格变动的幅度，利润总额就会被逆转的预期量所影响。如果模型是合理的，价格的预期值波动越大，利润的预期值也会更大。在这样的系统中，利润的波动一定程度上由价格波动的盈亏比例来决定。以同样的无条件价格的分布为例，盈利的比例越高，利润变化的方差就越低，那就有了更多能够盈利的交易，更少会亏损的交易，总体上也就能够获得利润。止损规则和交易规模的大小将对交易结果造成重大的影响，所以，进行普通的、绝对性的陈述是很不明智的行为。
接下来的观察是非常值得我们注意的。假设我们只挑选那些有利可图的交易，每天的利润变化将是稳定的，典型的，并且是巨大的。爆米花过程模型的实验显示，按照真实数据进行交易，显示盈利的可能为75%，并且夏普比率也超过了2的交易策略，但实际上它盈利的可能却只有52%。
逆转可以定义为当天价格分布向分布中心方向的所有移动，包括超越中心值的情况。这个方案将超过中间值价格并向下的移动当做逆转运动——包括移动到中间值附近的范围，同时也就包括超越中值的状况。同样地，价格从中间值下方到任何高点的移动也是一种逆转。
7.2.1逆转移动的频率
对于任何大于中间值的价格，
Pt=ptgt;m：
Pr[Pt 1lt;pt]=Fp(pt)
其中，FP(.)表示概率的分布函数，假设所有价格都根据这个分布来产生。（这是一个独立性假设的直接结果。）然后，逆转在这种情况下发生的总体度量可以表示为：
int;infin;m FP(pt)fP(pt)dpt = 3/8
其中，fp(.)是价格分布的密度函数。
其中FP（.）是价格分布的密度函数。因此，同时考虑当价格低于中间值，Pt lt;m，我们就可以数逆转发生的可能有75%。这一点，我们在第4章中已经经过详细讨论并得到了论证。
此前我们曾指出，逆转运动的比例是对价格序列变化特性的一种有用的描述。通过75%的结果说明，我们得到潜在的分布形式并不能造成逆转移动比例的不同。因此，对一个利用逆转现象来交易的系统来说，波动性相对较低的股票与波动性较高的股票将会得到相同的机会。此外，更容易出现较大的波动（统计中的说法，异常值）的股票，将比没有这种状态的股票，也将呈现出相同的逆转几率。这一结果的现实意义是，逆转运动的比例并不是一个随机分布的函数。因此，当把某一特殊数据添加到模型中计算价格是，即使假设分布是特殊的，结果也不会变得更复杂。此外，在分析实际的价格序列时，如果观察到逆转运动比例中的一些差异，那么，毫无疑问地，这一定是时间结构的不同造成的，而并不是因为随机分布成分的不同。
7.2.2 逆转的数量
刚刚才讨论过逆转发生的概率，如果现在还想计算出某一个大于中间值的价格的逆转数量的期望值是多少，可以采用以下几种可能的计算方式：
1、E[Pt - Pt 1 | Pt gt;Pt 1] ：逆转发生时，逆转数量的期望值。
2、E[Pt - Pt 1 | Pt gt;m] ：逆转数量平均值。
3、E[Pt - Pt 1 | Pt gt;Pt 1] Pr [ Pt 1lt; Pt] ：逆转数量的总期望值。
【注释】Pt gt;m是一个前提条件。前面两个案例的区别在于，例2包括了额外的25%的情况，在这种情况下，即使Pt gt;m，但逆转并没有发生，也就是Pt 1gt; Pt 。例1并没有这种情况，只是包括逆转运动的情况。
假如我们运用例1来定义系统中“纯粹”逆转的数量，那例2就能够被认为是系统整体“反映”的逆转数量。利用这种术语，能够设想一个系统，它能揭示逆转数量为零或者负数，而纯粹的逆转数量始终都是正数（除了让人觉得无趣和退化的例子）。
对于某一个小于中间值的价格移动，同样可以用类似的方式对它进行描述。
纯粹逆转 纯粹逆转期望值的定义为：
E[Pt - Pt 1 | Pt 1lt; Pt ，Pt gt;m ]times;1/2 E[Pt 1 - Pt | Pt 1 gt;Pt ，Pt lt;m ] times;1/2
这两项分别对应（a）大于中间值的价格向下移动的情况，以及（b）小于中间值的价格向上移动的情况。把这两种情况区别开来是很必要的，因为两种情况的期望值是不一样的；只有对称分布时，才是一样的。现在我们来考虑第一种情况。在图7-1中，对这种比较有趣的情况，定义一个条件分布，用灰色部分在图上表示。对于任何一个特定的价格Pt =Pt gt;m，其逆转数量的期望值等于Pt 与条件分布期望的差：
Pt - E Pt 1 | Pt 1lt; Pt [Pt] = Pt - int;Pt -infin;Pt 1f Pt 1 | Pt 1lt; Pt (Pt 1)dpt 1
当Pt 1lt; Pt，Pt 1的条件分布密度函数就是无条件密度函数（以独立性的假设为前提），这个比例因子是1减去在此种条件之外的子集合的概率。
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