本科毕业设计（论文）
外文翻译
时间序列和预测简介
作者：Peter J.Brockwell，Richard A.Davis
国籍：American
出处：Time Series: Theory and Methods, Second Edition (Springer-Verlag, 1991).
3.1 ARMA（p，q）过程
3.2 ARMA（p，q）过程的ACF和PACF
3.3预测ARMA流程
中文译文：
本文章我们将介绍一个重要的参数化静止族时间系列，自回归移动平均和ARMA过程。 对于一大类协方差函数gamma;（·）可以使用ACVF找到ARMA进程{Xt},gamma;X（·）使得gamma;（·）很好地近似为gamma;X（·）。 特别是，对于任何一个正整数K，存在ARMA过程{Xt}，使得对于h = 0,1，...k，，gamma;X（h）=gamma;，由于这个（和其他）原因，ARMA过程在其中对时间序列数据的建模起着关键作用。 ARMA过程的线性结构在第2.5节中大致简化了前面讨论的线性预测的一般方法。
3.1 ARMA（p，q）过程
在2.3节中，我们介绍了一个ARMA（1,1）过程，并讨论了它的一些关键属性。 这些包括固定解的存在性和唯一性，定义方程和因果关系，可逆性的概念。在本节中我们将这些概念扩展到一般的ARMA（p，q）过程。
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定义3.1.1 {Xt}是一个ARMA（p，q）过程，如果{Xt}是平稳的，如果每个t， Xt=phi;1Xtminus;1minus; ··· minus; phi;pXtminus;p = Zt theta;1Ztminus;1 ··· theta;qZtminus;q, （3.1.1） 其中Zt~ WN( 0, 2)和多项式(1-zz-... -)和(1 ... )，没有共同因素。 |
，如果(Xt-mu;)的平均值为mu;则过程Xt被称为ARMA（p，q）过程，使用的（3.1.1）的形式为ARMA（p，q）过程更简洁，更方便的的形式
phi;（B）Xt =theta;（B）Zt，（3.1.2）
其中phi;（bull;）和theta;（bull;）是q和q次多项式
phi;（z）= 1-zz...-
theta;（z）= 1 ... ，
B是后向移位算子(BjXt = Xtminus;j, BjZt= Ztminus;j,j=0,1..) 。 如果theta;（z）1，则时间序列Xt被称为阶p（或AR（p））的自回归过程，如果phi;（z）1，则时间序列Xt是q阶（或MA（q））的移动平均过程。
定义3.1.1的一个重要部分是要求Xt是静止的。 在2.3节中，我们证明了对于ARMA（1,1）方程2.3.1），是一个静止的当且（仅当phi;1=plusmn;1时，解存在（并且是唯一的）。 后者相当于z 的自回归多项式phi;（z）=1-phi;1z0或者Z=的条件。一般ARMA（p，q）过程的类似条件是phi;（z）=1-phi;1z-...
于是具有z 的所有复数。（这里对使用复数Z的绝对值，因为pgt; 1时多项式的零可以是实数或复数。由复数z的集合定义的区域使得Z的绝对值等于1时被称为单位圆。）如果phi;（z）0对于单位圆上的所有z，则存在delta;gt; 0，使得 和。然后我们可以绝对地将定义为线性滤波器，求和系数为
将算子应用于（3.1.2）的两侧，得到 （3.1.3）
其中 使用第2.3节中给出的参数在ARMA（1,1）过程中，它是psi;（B）Zt是唯一的固定解（3.1.1）。
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存在性与独特性： 等式（3.1.1）的固定解{Xt}存在（并且也是唯一的解决方案）当且仅当 对于所有| z |都有， （3.1.4） |
在2.3节中，我们看到ARMA（1,1）过程是因果关系，即，当且仅当|phi;1|lt;1时，Xt可以用Zs，sle;t表示。对于一般ARMA（p，q）处理，类似条件是| z |le;的phi;（z）= 0 le;1，即自回归多项式的零点绝对值都必须大于1。
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因果关系： ARMA（p，q）过程{Xt}存在因果关系，或{Zt}的因果函数，如果有的话 存在常量{psi;} 和 （3.1.5） 因果关系等同于条件，对于所有| z |都有， phi;（z）= 1 - phi;1z - bull;bull;bull; - phi;pzp= 0 le;1。（3.1.6） |
因果关系与（3.1.6）之间等价性的证明来自幂级数的元素性质。从（3.1.3）我们可以看出{Xt}是因果关系，当且仅当（假设phi;（z）和theta;（z）没有共同因子）。但这反过来又相当于（3.1.6）。
和（3.1.5）中的序列{psi;}由关系或等同于同一性
等于zj，j = 0,1，...的系数。
我们可以发现
1 =psi;0，
theta;1=psi;1 - psi;0phi;1，
theta;2=psi;2 - psi;1phi;1 - psi;0phi;2，
.
.
.
或等效地，
(3.1.7)
其中 theta;0=1, theta;j =0 表示 j gt; q, psi;j=0 表示 j lt; 0.。
允许Zt以Xs，sle;t表示的可逆性在移动平均多项式方面具有类似的特征。
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可逆性： 如果存在常数{pi;j}，则ARMA（p，q）过程{Xt}是可逆的
对所有的t， 可逆性等同于条件 theta; = 1 theta;1z ··· theta;qz q /= 0 所有的 |z|le; 1(z) |
交换AR和MA多项式的作用，我们从（3.1.7）中发现序列 由方程确定q
(3.1.8)
.
k = 1时
其中：phi;0 = -1，phi;j ：= 0表示jgt; p，pi;j：= 0表示j lt;0。
例3.1.1 ARMA（1,1）过程考虑满足等式的ARMA（1,1）过程{Xt}
Xt =0.5Xtminus;1 = Zt 0.4Ztminus;1, (3.1.9)
由于自回归多项式phi;（z）= 1 - 0.5z在z = 2处具有零，其位于单位圆外，我们从（3.1.4）和（3.1.6）得出结论，存在唯一的ARMA过程满足（3.1.9）这也是因果关系。 {Xt}的MA（infin;）表示中的系数{psi;j}直接从（3.1.7）中找到：
psi;0 = 1,
psi;1 = 0.4 0.5,
psi;2 = 0.5(0.4 0.5),
psi;j = 0.5 jminus;1(0.4 0.5), j = 1, 2,....
MA多项式theta;（z）= 1 0.4z在z = -1 / 0.4 = -2.5处具有零，其也位于单位圆之外。这意味着{Xt}是可逆的，系数{pi;j}由[见（3.1.8）]给出
pi;0 = 1,
pi;1 = minus;(0.4 0.5),
pi;2 = minus;(0.4 0.5)(minus;0.4),
pi;j = minus;(0.4 0.5)(minus;0.4) jminus;1, j = 1, 2,....
({psi;j}和{pi;j}的这些公式的直接推导在2.3节中给出，但没有对递归（3.1.7）和（3.1.8）有吸引力。）
3.2 ARMA（p，q）过程的ACF和PACF
在本节中，我们将讨论计算自协方差函数的三种方法，因果ARMA过程的gamma;（·）{Xt}。 很容易找到自相关函数来自ACVF除以gamma;（0）。 部分自相关函数（PACF）是也从函数gamma;（·）中找可以找到。
3.2.1 ACVF的计算
首先，我们确定由定义的因果ARMA（p，q）过程的ACVFgamma;（bull;）
phi;（B）Xt =theta;（B）Zt，{Zt} ~WN( 0，sigma;2)，（3.2.1）
其中phi;（z）=1-phi;1z-hellip;-phi;pzp和theta;（z）=1 theta;1z .... theta;qzq。 因果关系假设意味着
（3.2.2）
其中序列{psi;j}的计算是讨论在3.1节中。
第一种方法。 从命题2.2.1和表示（3.2.2），我们可以得到
(3.2.4)
3.2.2自相关函数
回想一下，ARMA过程的ACF， {Xt}是从ACVFgamma;（bull;）立即找到的函数rho;（bull;）那么
gamma;（h）/rho;（h）=gamma;（0）。
同样，对于任何一组观察{x1，...，xn}，样本ACFrho;（bull;）计算为
rho;（H）=gamma;（H）/ gamma;（0）
MA（q）系列的样品ACF。给定时间序列的观察值x1，...，xn，将模型拟合到数据的一种方法是使数据的样本ACF与模型的ACF匹配。特别是，如果样本ACF（h）在0 le;h le;q时与零显着不同，而对于hgt; q则可忽略不计，
3.2.2表明MA（q）模型可以提供良好的数据表示。为了应用这个标准，我们需要考虑样本自相关函数中预期的随机变化，然后才能将ACF值归类为“可忽略不计”。为了解决这个问题，我们可以使用Bartlett的公式（第2.4节），这意味着来自MA（q）过程的大样本n的大样本，滞后h大于q的样本ACF值近似正常分布表示0和方差Whh / n = 1 2rho;2（1） bull;bull;bull; 2rho;2（q）/ n。这意味着
如果样品来自MA（q）过程并且如果hgt;q，那么P（h）应该会下降
在界限plusmn;1.96 / 之间，概率大约为0.95。在实践中我们经常使用更严格的值plusmn;1.96 / 作为其间的界限样本自协方差被认为是“微不足道的”。对于模型选择问题更有效和系统的方法，也适用于pgt; 0和qgt; 0的ARMA（p，q）模型，将在5.5节中讨论。
3.3预测ARMA流程
创新算法（参见第2.5.4节）为我们提供了一种预测二阶零均值过程的递归方法，该过程不一定是固定的。对于因果ARMA过程
phi;（B）Xt =theta;（B）Zt，{Zt} ~WN( 0，sigma;2)，
可以大大简化算法的应用。我们的想法是不将它应用于过程{Xt}本身，而是应用于转换过程[参见安斯利（1979）]
(3.3.1)
那么
m = max（p，q）。 （3.3.2）
为了符号方便，我们为jgt; q定义theta;01和theta;j0。我们还假设p 1ge;1和q ge;1.（在这些假设中没有失去一般性，因为在下面的分析中我们可以将任何系数phi;i和theta;i取为零。）
Xt的自协方差函数gamma;X（）可以使用3.2.1节中描述的任何方法轻松计算。然后从中找到自协方差kappa;（i，j）=E（WiWj），i，jge;1
将创新算法应用于我们获得的过程{Wt}
（3.3.4）
其中系数theta;nj和均方误差从（3.3.3）中定义的kappa;定义的创新算法中递归地发现。 预测变量（3.3.4）的显着特征是当nge;m和jgt; q时theta;nj消失则kappa;（r，s）= 0。 这是创新算法的结果，如果rgt; m且| r - s | gt;q
现在观察等式(3.3.1)允许每个Xn，n ge; 1，写成一个
Wj，1 le; j le; n的线性组合，相反，每个Wn，n ge; 1，应写成
Xj，1 le; j le; n的线性组合。这意味着最好的线性预测
根据{1，X1，...，Xn}与最佳线性预测值相同
用{1，W1，...，Wn}。我们将用PnY来表示
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