关于稳定可逆矩阵的分解外文翻译资料

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关于稳定可逆矩阵的分解

陈焕银

（杭州师范大学数学系，杭州，浙江，310036）

摘要：本文证明了每个稳定可逆矩阵都相似于两个循环矩阵的积，并且进一步证明了稳定可逆矩阵可表成对角矩阵与换位子的积。

关键词：稳定矩阵；循环矩阵；换位子

MR（2000）主题分类：15A/23；15A33；19B10 /CLC号码：O153

文件代码：A 论文ID：1000-0917（2011）01-0041-06

矩阵是一个循环矩阵，如果存在一个列向量使得是可逆的。若一个阶方阵，其主对角线下方的元素均为1，最后一列的元素为，其他元素均为零，则这个矩阵称为友矩阵。众所周知，一个矩阵是循环矩阵当且仅当它相似于友矩阵^[8]。一个伪环具有稳定秩1只要且使得是可逆的，这里是的单位扩张。研究表明伪环有稳定秩1并不依赖于它的单位扩张[8,Theorem 3,6]。我们称是稳定矩阵，只要有稳定秩1。

在本篇文章中，我们要证明每个稳定可逆矩阵相似于两个循环矩阵的积。更进一步，我们提出稳定可逆矩阵可以表成对角矩阵与换位子的积。这些结果将文献[8,Theorem 2]和[8,Theorem 3]做了进一步的推广。

本文提到的所有环都是含幺结合环。表示定义环上的维线性群，表示定义在上方阵构成的环，其幺元为。

引理1 设为一个下三角单位矩阵，为上三角阵且对角元素非零。则矩阵可表示为两个循环矩阵的积。

证明 设

且

可得。根据[8,Corollary 7]得是循环矩阵。容易验证

根据[8,Proposition 6]，存在一个上三角单位矩阵使得为友矩阵。因为，最终可得为循环矩阵。

引理2 设是环的理想。如果有稳定秩1，那么也有稳定秩1。

证明 选取，则有。给定且，有且。根据假设，我们可以找到一个可得。得出结论，，很明显，；所以，。则。这说明。因此有稳定秩1。

定理3 设为一个稳定矩阵。那么相似于两个循环矩阵的积。

证明 显然，存在环的一个理想使得。因为是一个稳定矩阵，则有稳定秩1。根据引理2，也有稳定秩1。显然，我们可以找到使得。因此。容易验证，因此存在使得 。据此，我们得到

，

其中。此外，。由于，我们有

其中与。因此得到下三角单位矩阵和使得

，

其中且。重复上述过程，我们将得到下三角单位矩阵和使得

。

其中任意，因此有

。

显然，是下三角单位矩阵。根据引理1，相似于两个循环矩阵的积。

在[8,Theorem 2]，Vaserstein和Wheland证明了定义在具有稳定秩1的环上的每个可逆矩阵都相似于两个循环矩阵的积。现在我们将结论推广如下

推论4 设是环的一个理想，同时。如果有稳定秩1，那么相似于两个循环矩阵的积。

证明 显然，。因为有稳定秩1，根据[7,Theorem 3.6]，也有稳定秩1。所以是稳定矩阵。因此，我们就完成了定理3的证明。

令得出以下

推论5 设为可除环的右向量空间，设。如果，那么相似于两个循环矩阵的积。

证明 设。那么为的理想。进一步得到，有稳定秩1。易证，得到推论4的结果。

设为交换环，为一个稳定矩阵。根据定理3，存在一个使得其中和都是循环的。根据[8,Theorem 3]的证明结论，我们可以得到，若，那么是换位子的积。据此，我们可以得出当且仅当是两个换位子的积。设作为交换环幂为零的数。我们可以称为两个交换子的积，当且仅当。因为是稳定矩阵，证明完毕。一般情况下我们可以得出如下结论

定理6 设为一个环，同时设为一个稳定矩阵。假设或，且1是上的两个单位和。那么存在交换子，使得，。

证明 根据定理3的证明结论，我们可以找到下三角单位矩阵如和使得

因此我们可以找到三角矩阵使得。根据[8,Corollary 4]，是两个换位子的积，证明完毕。

推论7 令作为可除环的右向量空间其中，同时设。如果，那么就存在换位子，使得，

证明 显然，假设。设，那么是的理想且具有稳定秩1。根据推论4的证明结论，是稳定矩阵。如果，得到定理6的结论。假设，那么使得。据此可得，i.e.，是两单元的和。根据定理6的结论，得到，如预期结论。

设，其中为矩阵单元（上均为1，其余为）。

定理8 设为一个环，同时设为一个稳定矩阵。假设或者，那么是上的两个单元和。所以存在换位子使得，。

证明 类似定理3，我们能在中找到一个理想使得。此外，有稳定秩1。显然。根据定理3的证明结论，我们能找到一些下三角矩如和上三角矩阵，使得。易证

其中。验证如下

因此，我们可以找到上三角单位矩阵和下三角单位矩阵使得

显然，是单位三角矩阵的积。根据[8,Corollary 14]，存在换位子使得。令。问题得证。

如果是交换环，注意到在定理8中必定为中的行列式。

推论9 设为一般自内射环，同时设。如果全部是有向有限的，就有交换子使得，。

证明 设。根据[5,Corollary 9.21]在上有一个理想。给定任意等幂数，则是有向有限的一般右自内射环。因此根据[5,Theorem 9.17]，它是单位正则数。所以有稳定秩1。又根据[7,Theorem 3.6]，有稳定秩1。更进一步我们可以得到，由此得出是稳定矩阵，根据定理8结论，证明完毕。

现在，我们可以知道每个稳定可逆矩阵的较小的值都是交换子的积，如下所示

定理10 设为一个环，同时设为一个稳定矩阵。假设或者，且是上两个单元的和。那么就存在交换子使得，其中相似于，。

证明 根据定理3的证明结论，我们可以找到下三角单位矩阵使得

其中任意，因此我们可以找到一个上三角单位矩阵推出，其中是下三角单位矩阵。据定理8的结论，存在上三角单位矩阵和下三角单位矩阵使得

显然，是三角单位矩阵的积。根据[8,Corollary 14]的证明结论，存在换位子使得。设且那么相似于。此外，我们保证，因为是换位子，存在使得。因此，我们推导出，即是的换位子的积。

推论11 设为一般自内射环，同时设。如果全部是有向有限的，那么就存在交换子使得，其中相似于，。

证明 根据推论9的结论，可知是稳定矩阵，因此根据定理10的证明即可证明此推论。

推论12 设作为可除环的右向量空间且，同时设。如果，那么就存在换位子使得，其中相似于，。

证明 根据推论7的结论，是稳定矩阵且是两个单元的和。根据定理10，结论得证。

参考书目

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