分形几何由复杂的基派生而来外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

Fractal Geometry Derived from Complex Bases

作者：William J. Gilbert

国籍：Canada

出处：The Mathematical Intelligencer June 1982, Volume 4, Issue 2, pp 78–86

原文正文：

分形几何由复杂的基派生而来

作者：威廉·吉尔伯特

国籍：加拿大

出处：《数学智能》1982年6月，第4卷，第2期，第78-86页

中文译文：每个复数可以使用某些复数基数以位置表示法表示为单个数字，正如正实数可以表示为十进制扩展。这些表示在复平面中产生一些有趣的几何图案，其边界是分形曲线。从龙曲线的研究中已知其中一条曲线；其他是分形的新例子。

复数的基

正整数可以用数字0，1，2，hellip;，b-1表示，b为任意整数，且b gt; 1；十进制和二进制系统当然是我们最熟悉的，正整数和负整数都可以表示（不使用符号前缀），任何负数都可以用数字0到|b|-1表示，其中b lt; -1。

基数或基数表示的概念可以扩展到复数，一个高斯整数z= x iy，其中x和y是实数，如果写成z = 这种形式，则用复基底b表示，其中被称为表示的数字。我们用这样的表示。如果允许的数字组成了一个完整的余数系统模的基，则将数字转换为给定整数基数的标准算法可以扩展到这些复数的基。

在本文中，我们只允许自然数作为数字，因为这是熟悉系统最直接的概括。模数为b = n im的完全残差系统中的元素个数是 。现在高斯证明如果n和m是相对素数，那么自然数0，1，2 ...... -1形成完整的残基系统模b = n im。此外，如果n和m具有共同因子，那么任何完整的残基系统模b必须包含一些具有非零虚部的数。在自然数下基b = n im表示所有高斯整数的另一个必要条件是m=1，因为基的所有幂的虚部可被m整除。因此，我们只考虑形式为ni的数字为0,1,2 ...，的基数。

一个这样的例子是基b = -1 i，它提供了所有复数的二进制表示。该系统已被计算机科学家所知多年; 见Knuth [6; sect; 4.1]的历史。比如，5-3i =， =， = 。

图1. 衍生自基座1-i的螺旋拼图每个阴影正方形描绘了在基b = 1-i中可表示的高斯整数。不同的阴影对应于不同长度的表示。请注意，无阴影区域与阴影螺旋形状完全相同，但转过半圈。

复平面中的高斯整数表示

基b = n i中的高斯整数的表示可以在复平面中如下可视化。 将平面划分为对应于高斯整数的单位正方形，然后使用数字0,1,2 ...，对可以写入基b的正方形进行着色。

如果每个高斯整数可以使用b作为基数唯一地表示，则数b将是“好的”基数； 也就是说，如果平面上的每一个正方形最终都是阴影。该表示法的唯一性源于所允许的数构成一个完整残基系统模b。

有哪些关于小规范的基的例子？数i不适合作为基，因为它们有范数1，所以任何完整的余数系统模i只包含一个元素。因此，我们首先考虑范数2的基。

在图1中，所有的正方形都是阴影的，它们对应于使用二进制数字0和1具有基数1-i表示的数字。已经用于表示扩展的长度。起源是中央黑色方块。唯一的另一个基为1-i的数扩展为 = 1。有两个数字的扩展长度为2，即 = 1-i和 = 2-i；这些都给出了相同的阴影。一般来说，2数字，扩展长度为r 1，有相同的阴影。由于= ，此数字可写为加上r或更少数字的数。因此阴影区域由对应的正方形组成需要r 1位的高斯整数可以通过平移向量上所有较小区域的并集得到。这样我们就得到了一个无限的拼图用一块对应2的每一次方的方块和一块额外的黑色方块拼出原点。如果这个拼图最终填满了这个平面，那么每个高斯整数都可以用1 - i表示。

图1表明，拼图游戏永远不会覆盖整个平面，但会继续向外旋转。事实上，数字-1是白色区域，并应用标准算法将数字转换为给定的基数：

图2. 拼图游戏源于底b = -1 i，它们是一样的螺旋形中的那些来自底部1 - i不管它们怎么填满这个平面，这说明了每个高斯整数以-1 i为底。

-1 = (-1-i)(1-i) 1

-1-i =(-i)(1 -i) 0

-i =(-i)(1-i) l

-i =(-i)(1-i) 1, 等等。

算法永远不会终止，但会无限循环。因此，-1不能在基数1-i中表示。以类似的方式，基部1 i产生螺旋竖锯，其是从1-i获得的竖锯的实轴中的反射。1-i和1 i都不是一个很好的基。

图2显示了使用-1 i的相同结果。大小为的块体与以1-i为底的块体形状完全相同，但现在它们以不同的方式组合在一起，以精确填充平面。因此-1 i是复数的一个很好的底数，当然，它的共轭也是-1-i。

高斯整数2-i和-2 i有范数5，所以当使用这些作为基数时，需要数字0、1、2、3和4。以2-i为底的数如图3所示。在这种情况下，有4个以2-i为底r 1展开的数。它们的形式是= ，其中=1、2、3或4。因此，每个阴影部分都是通过沿着向量，, , 平移得到的。由基2-i和-2 i得到的拼图与由基1-i和-1 i得到的拼图模式相似，由基-2 i得到的拼图如图4所示，与图3中使用的部分相同。然而，从基2-i得到的拼图形成了一个大螺旋，而从-2 i得到的拼图则填满了整个平面。从图中可以看出-2 i是一个很好的基，而2-i不是很好。

Katai和Szabo[5]证实了这些图可能得出的自然猜想。他们通过代数方法证明了唯一可以用作所有复数的基的高斯整数，使用自然数作为数字 ，是-n i和-n-i，其中n是正整数。这些表示中使用的数字是0,1,2 ....，.当前使用的实数的最常见表示是十进制和二进制系统。 巧合的是，复数也分别使用基数-3 i和-1 i进行十进制和二进制表示。例如

图3. 螺旋拼图是从基b = 2 - i衍生而来的。其他部分包含的平方。因为它们没有填满平面，2 - i不适合做复数的基。

图4. 拼图游戏来自良好的基b = -2 i。 这些碎片与从基2-i导出的碎片相同，但这次它们填充了平面。

所有复数的表示

使用-n i(或-n-i)作为基的高斯整数的这些表示可以扩展到所有复数，就像十进制或二进制系统可以扩展到所有正实数一样。几何上，这些基底导致平面上一些奇异的图案。

我们说复数是在基数b中用形式表示的，每个是基数b的允许数字。我们用表示这种无限扩展。小数点左边的数字定义了一个高斯整数，称为整数部分。例如，如果b =-1 i，那么=（-1-i）/ 2和 =i/2所以1/2=1 =，带整数第一部分。如在十进制系统中，大多数数字不能使用终止扩展来编写。

数字1-i不是高斯整数的良好基，但是数1-i中可表示的所有复数的集合，我采用了一种有趣的形式。（我们在之前调查此基-1 i因为基1-i更清楚地暴露基础几何结构。）以图1为例，将每个整数方块细分为四个方格；这些较小的正方形可以通过复数x iy协调，其中x和y是1/2的倍数。对应于可以在基数1-i中表示的数字的那些正方形。我产生与图1类似的螺旋图案，但是具有缩小到一半大小并逆时针旋转四分之一。将这些较小的方块细分为四个并重复该过程。图5显示了前三个阶段。在第三阶段，复平面被分为侧的正方形。如果坐标x iy（x和y的倍数为）具有基数1-i表示，则它将是终点扩展，在小数点右侧最多2r个数字。

在极限情况下，这个过程产生了一个迷人的区域，如图6所示，我称之为雪花螺旋。 图的边界是雪花曲线的示例。 沿任何两点之间的边界的距离总是无限的。 雪花螺旋由一个大螺旋组成，螺旋形较小。 每个小螺旋都有较小的螺旋形，背面生长，所以无限制。 这种雪花螺旋具有如下特性：如果它绕原点逆时针旋转四分之一转并同时缩小到其大小的一半，那么它就保持不变！ 请注意，图6中的白色区域与旋转一半旋转时的黑色区域相同。因此，所有复数的“一半”可以用基数1-i表示。

图5. 雪花螺旋结构的近似。这三个近似值的平方分别是大小为1、1/2和1/4，它们描述了以1-i为基可表示的复数，最多使用底的0、2和4次负幂。

类似的过程可以应用于基数-1 i。即使每个复数都可以使用基数-1 i以二进制形式写入，但是雪花曲线从该表示形式出现为具有给定的复数区域的边界 整数部分。这些区域的近似值如图7所示；相同在基数-1 i中使用八个二进制扩展位置给出了具有相同整数部分的复数的着色。在极限情况下，这些阴影区域的边界具有无限长度但仍包围单位区域。

图6. 雪花螺旋由使用基础1-i以二进制形式表达的所有复数组成。这是图5中近似的限制区域。边界是分形曲线的一个例子。

任何这些区域的边界上的所有点将具有两个具有不同整数部分的基-1 i扩展。例如，点（-1 2i）/5位于具有整数部分0和i =的区域的边界上；实际上，两个扩展是（-1 2i）/5 ==（，其中条形下的数字无限重复。这表明基数-1 i中所有复数的表示不是唯一的，即使它是唯一的高斯整数。

因为平面是二维的，所以在这些区域中的三个区域的边界上必须存在一些点。这些点将对应于具有三个基本-1 i扩展且具有不同整数部分的点。例如，（-1 3i）/5 ===位于具有整数部分0，i和1 i的区域的交点处。这三个长度为3的周期性扩展 可以通过将它们乘以基的立方然后减去原始扩展的标准方法来评估。

分形曲线

Mandelbrot在他的“分形”一书中研究了图6中雪花螺旋的边界[7]。如果欧几里德空间的Hausdorff维数严格大于其拓扑维数，则称欧几里德空间的子集。这个Hausdorff维数，或Mandelbrot称之为分形维数，是一个可以取非整数值的真实度量不变量。这个维度与大多数常规集的标准拓扑维度一致，并测量更多病理集的锯齿状。标准曲线的分形维数为1，而空间填充曲线的维数为2。来自基地1-i的雪花螺旋的边界位于这些极端之间，Mandelbrot计算出它的分形维数约为1.5236（[7；p.313];详见[3]）。图7中所示的近似值的极限由具有在基数-1 i中的固定整数部分的复数区域组成，具有与图6的局部相同的边界，因此具有相同的分形维数。

图7.复数的整数部分用基-1 i表示。每个区域是使用八个二进制位的近似值，其中指示的整数部分在基-1 i中

图8. 从基数2-i得到的分形曲线暗区代表基2-i中可用数字0,1,2,3和4表示的所有复数。原点位于左上半岛的顶端。

使用基n-i和-n i的复数的其他表示，对于大于1的n，产生雪花曲线的新例子。可以用基是n-i的复数形成一个螺旋雪花区域，其特性是逆时针旋转角度arctan（1/n）并收缩线性因子它保持不变。

Mandelbrot的书[7]中的一章题为“英国海岸有多长？”，其中他估计海岸的分形维数大致介于1.2和1.3之间。 如图8所示，来自基地2-i的区域边界的一部分具有与英国海岸非常相似的形式，但计算表明其分形维数约为1.6087 [3]。这意味着它太过于锯齿状，不能成为一个很好的海岸线模型。

龙曲线

从基1-i获得的雪花螺旋具有另一个有趣的解释，即双空间填充龙曲线的极限。卓越的龙曲线在马丁加德纳的科学美国人数学游戏专栏中引入[2]。构造这些曲线的一种方法是在相同方向上将一张纸重复折叠成两半，然后展开它以使所有折痕都成直角。通过沿着纸的边缘观察获得龙曲线。如果龙曲线构造需要r折叠，则称其为r阶曲线。可以获得阶数r 2的曲线从r阶曲线如下。从一端开始，系统地用3阶曲线替换每个L形件，其曲线的边长是原件的一半长度。该过程可以无限期地继续，并且该极限产生空间填充曲线的示例。这些龙曲线已经被Chandler Davis和Donald Knuth [1]使用复杂的基础进行了研究和协调。

可以通过将每个的头部连接到另一个的尾部来连接相同尺寸和顺序的两条龙曲线。两个这样的有序r的双龙自然地位于包含来自基-1 i的2个r方格的拼图块内。用r 2阶r替换r阶双龙的过程，如图9所示，与通过增加基数-1 i扩展两个二进制增加包含个较小正方形的拼图块的结构一致。从头到尾放置的这些双龙曲线的极限正好是一个拼图块，由那些可以使用数字整数写在基-1 i中的复数组成零件具有给定的固定长度。

图9. 双龙曲线从头到尾相连。 顺序r的两条龙曲线自然位于包含方形的拼图块内，该方形来自基-1 i。

从折叠结构可以很容易地看出，阶数为r 1的龙曲线由两阶r阶曲线组成。 因此，通过增加r，可以定义无限阶的龙曲线，其初始的个段形成r阶的曲线。Donald Knuth已经证明，这

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