经典风险模型中有限时间破产概率结果的比较外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

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经典风险模型中有限时间破产概率结果的比较

作者：ClaudeLefegrave;vre,JulienTrufin,PierreZuyderhoff

国籍：比利时

出处：Statistics amp; Probability Letters

1. 导言

破产概率的评估很大程度上取决于索赔金额的分布，考虑到两个索赔分布，自然会问哪一个意味着更大的破产概率值。这个话题已经研究了很长一段时间（见Goovaerts等人，1990年出版的书）。通常，人们的注意力集中在无限时间范围内的破产概率上。直观地说，人们认为变化幅度越大，最终破产的可能性越大。Michel（1987）首次利用索赔规模的凸阶对经典风险模型证明了这一结果。其他随机顺序也被考虑用来处理不同的情况或模型假设。Kl_ppelberg（1993）的一篇很好的论文使用渐近阶比较了初始金较大、针对轻尾和重尾索赔分布时的破产概率，。

据我们所知，目前对索赔规模对有限时间破产概率的影响研究很少。一个显著的例外是De Vylder和Goovaerts(1984)的论文，他们对复合泊松风险模型得出了一些有趣的结果。他们特别指出，与有限时间情况相反，凸序意义上更危险的索赔额并不一定意味着有限时间范围内更大的破产概率。

本文还讨论了经典的风险模型。索赔发生根据泊松过程的速率，索赔量是独立同分布正随机变量（分布为），具有分布函数和平均值。因此，到时间为止的总索赔金额是。公司的初始准备金为，按固定利率收取保费。在之前，破产概率（非破产概率）用（或 ）表示。正安全载荷系数由定义，它保证在有限时间范围内的破产概率，的概率小于1，并且随着趋于0。有关破产理论的概述，请参见例如Dickson（2016）和Asmussen和Albrecher（2010）的书。

我们的目的是进一步分析索赔金额对有限时间破产概率的可能影响。一个简单的统一方法似乎是不可能的，这个问题将在几个条件下进行研究。作为一个数学工具，我们将使用不同的众所周知的随机顺序。许多关于随机序的理论可以在Belzunce（2015）Denuit（2006）、Muuml;ller和Stoyan（2002）、Shaked和Shanthikumar（2007）等人的书中找到，此外，我们还将使用Kluppelberg(1993)引入的几个不太标准的渐近阶。

本文的结构如下，在第2节中，我们为De Vylder和Goovaerts（1984）的分析提供了一些补充。 这些涉及初始储备为空的特殊情况。 在第3节中，我们获得了破产概率的止损变换的比较结果。 这样的结果对概率本身的比较提供了部分观点。 在第4节中，我们建立了破产概率的渐近比较，因为初始储备很大，对于无限时间范围的情况，我们的研究直接来自Kluuml;ppelberg（1993）的方法。 在第5节中，我们推导出与时间有关的Lundberg系数的比较结果，这使得我们能够讨论初始储备和时间范围都很大的情况。

2.空初始储备

我们首先回顾一些在本文中有用的随机顺序的定义。 读者可参考 Shaked和Shanthikumar（2007）的著作，在下文中表示为S-S。

设和为两个非负随机变量，分布函数和，有限平均值分别为和。约定通常在随机数之前 ，对所有如果有，则表示为。 对于任何非递减函数，使得其期望存在，那么后者也等同于不等式。

随机顺序比较风险的大小，一方面，凸序关注于它们的可变性，并允许我们用相同的均值来比较两个风险。另一方面在凸序中先于，表示为，当

有

那么后者也等同于

其中，对于任意实数，表示为正数（即，如果，则，如果，则）。 等价地，，当且仅当,且，对于所有凸函数：，期望存在。

只有具有相同均值的随机变量才能通过凸序进行比较。 Lorenz阶和增加的凸阶结合了尺寸和变异性的各个方面。 Lorenzorder中的小于，表示为，当

时，被称为小于的增加凸数，表示为，当成立时。 等价地，，当且仅当，对于所有凸函数：，期望存在 。显然，当时，增加的凸阶相当于凸阶。增加的凸序也被称为止损订单，因为是在保留的止损再保险条约下的预期再保险支付。

类似地，增加的凹阶，表示为，通过要求来定义所有非减少的凹函数 ，假设期望存在。这个条件相当于 ，对所有，其中，对于任意实数，-表示为负数（即如果，则，如果，则）。

现在，让我们比较没有初始储备的风险模型的有限时间破产概率。将在符号中添加指数或上标，以区分模型。众所周知，当时，在时间之前的破产概率仅由

（即也是）

表示，最后一个等式通常被称为Takagrave;cs公式（见Takaacute;cs，1967）。 从这个结果，我们可以建立以下命题。

命题1.如果且，对所有，有。

证明：由，我们得到，因此（见S-S中的定理4.A.34）。此外，由，我们得到（见S-S中的定理4.A.9）。因此，根据增加的凹阶的定义，我们得到，结合公式可得。

我们注意到条件，意味着。 特别是，如果，则。 在的情况下，相当于（见S-S中的定理4.A.35）。

命题1是De Vylder和Goovaerts（1984）中定理4的略微推广，其中说明如果，和，则。 实际上，这些条件直接暗示了。

推论1.如果，和，那么对于所有，则。另外，如果也成立， 排序条件变为。

证明：显然，条件，和得到。 这意味着和命题1成立，然后给出所有的。在的特定情况下，我们得到。

正如引言中所提到的，米歇尔（1987）证明了索赔规模越大，变量越大，最终破产概率就越大。这种含义并不能保持在有限的时间范围内。 实际上，当时，推论1表明，索赔规模越大可变，有限时间破产概率就越小。 这似乎是先验的反直觉，但可能的解释如下， 当时，如果破产，那么破产很可能是早期发生的，而保留期与索赔的平均相比仍然很小。 现在，如果索赔规模更加可变，则它具有小于的显著机会，并且不会导致破产。 如果它大于，这将不会对破产的风险产生太大影响，因为破产将主要归因于平均值。

例1：在和呈指数分布的情况下，得到，。因此，命题1的条件可变为，对所有， ，。由于随增加而增加，因此满足条件，即。在且的特定情况下，有趣的发现和同时成立，这就意味着对与所有的，。

3.止损变换

让我们考虑直到时间的最大总损耗，表示为，定义为：

其中表示第和第个索赔到达之间的时间。 当然，是参数的独立指数随机变量。 破产概率可以表示为破坏的生存函数，即。

通过

定义了破产概率的止损变换，Robert（2014）使用这个概念解决了另一个问题.Cheng和Pai（2003）也对进行了讨论。

在本节中，我们考虑两个具有相应破产概率和的风险模型，我们的目标是比较相应的止损变换和 ，从实际的角度来看，的止损变换可以解释为直到时间所遇到的预期最大赤字。的确，分布积分法使我们能够写出

因此，虽然侧重于（至少）一个流动性问题在时间之前发生的风险，但，会带来有关保险公司面临的风险的信息。从另一个角度来看，的止损转换形式也可以看作是银行向保险公司贷款的关键风险指标，因为它代表银行必须注入的预期金额，保险业务以确保其可行性。

引理1.考虑两个分布函数族和，其中是或的凸子集.设和分别表示具有分布函数和的两个随机变量。设和是两个随机变量，支持并且使得

令和，如果对所有的

并且如果对于每个非递减凸函数，随增加而增加， 那么

证明： 设是非递减凸函数，对于，表示， 由（3.4），我们得到，使得

由（3.3）和（3.5）直接得到。 因此，我们得到，这是公布的排序。

我们注意到，如果两个分布函数族和相同，则引理1相当于S-S中的定理4.A.20，我们现在可以证明我们的主要比较结果。

命题2.如果，和，那么对于所有，则，即 对于所有且，。

证明：首先，在两种模型中，我们假设直到时间的声明数量是固定的并且等于。到达间隔时间也是固定的，并且等于,（使用）。 然后，对于，我们认为条件赤字周期

其中.显然，由于，我们得到。

现在让我们介绍相关的Lindley过程，定义，

其中，从Asmussen和Albrecher（2010）的第三章的定理3.1中，我们知道

我们想要证明

,

这对于是显而易见的。通重复进行，我们假设适用于某些。因为，并且对于每一个，是独立的，（参见S-S中定理4.A.8）我们得到

注意，如果是增加凸函数，则函数也增加凸。 从和，我们推断出中可用代替。 特别是取，并使用，我们可以得到

现在，对于泊松属性，有条件地令，已知个连续到达时间被分布为上个均匀随机变量的阶数统计。这意味着向量在两个模型中都是相同的。 因此，我们可以在排序中删除上的条件，即 。对于每个，在中随机增加。此外，当时，我们有。 因此，引理1是适用的，并且根据需要产生。

根据（3.2）中给出的止损变换和的解释，这最后的结果并不令人惊讶，并且在某种程度上是直观的。

我们注意到命题2直接暗示 这一观察使我们以自然的方式进入下一节，我们考虑大量的初始储备。

备注1.在他们的讨论中，De Vylder和Goovaerts（1984）考虑了平面中,和的区域。他们认为区域可能是 一条简单的曲线将两个其他区域分开。然而，这似乎并不总是正确的。 实际上，当很小时，的一阶近似是，当。 ，当。 因此，如果不止一次越过，那么就不会产生唯一的曲线。

4.大型初始储备

在本节中，我们将讨论初始储备大时两种风险模型的比较问题。 和以前一样，我们的兴趣集中在有限时间的破产概率上。

对于无限期间的破产，当大小属于Lundberg系数不存在的轻尾分布的类时，Kluuml;ppelberg（1993）得得了好的的结果，同时也讨论了其他类别的分布。在这里，我们将再次考虑类，并且在此之前，我们将考虑更一般的（已知的）类，其中包含长尾和指数类尾分布。

4.1 对于属于类的索赔分配

我们首先简要介绍一类特殊的实函数，以及一类相关的分布函数。 更多细节可以在Kluuml;ppelberg（1989,1990）和Tang、 Wei（2010）书中找到。

定义1.设，，如果在，为正实数并且

则函数:属于类。

中极限的收敛性在紧间隙和

上是一致的。类与指数为的规则变化函数类密切相关，表示为。事实上，，当且仅当。

定义2.如果属于，则分布函数属于。

如果密度函数属于，那么相应的分布函

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