着眼于预期课程中问题类型的表示：中国大陆和美国的精选数学教科书的比较外文翻译资料

着眼于预期课程中问题类型的表示：中国大陆和美国的精选数学教科书的比较

原文作者 Yan Zhu,Lianghuo Fan 南洋理工大学国立教育学院教学与实践研究中心

摘要：本研究比较了所选中国大陆和美国的初中数学教材如何代表课堂教学和学习的各种类型的问题。问题的检验是根据研究中建立的问题类型分类进行的，包括常规问题与非常规问题、开放式问题与封闭式问题、传统问题与非传统问题、应用问题与非应用问题等等，分析了所选教材中问题表达的异同。研究结果被用来探讨这些教科书对不同数学成绩学生的可能影响，如跨国比较所揭示的。在研究的最后，讨论了如何提高数学教材中问题的表达。

关键词：比较研究； 数学问题解决； 数学教科书； 问题类型； 教材分析

1 研究背景

近二十年来，教材在数学教学中的作用越来越受到国际数学教育界的关注。研究人员兴趣的增长可以从第三届国际数学和科学研究(TIMSS)包括对数以百计的教科书和来自约50个国家的其他课程材料的分析中观察到，它被认为是第一次如此大规模的研究包括教科书作为主要研究课题(Schmidt, McKnight, Valverde, Houang amp; Wiley, 1997)。然而，与数学教育的其他研究领域相比，对教材的研究仍然不足，因此，许多研究者呼吁更多的围绕教材的研究(如Bishop, 在新闻中; Fan amp; Kaeley, 2000; Graybeal, 1988; Love amp; Pimm, 1996; Sosniak amp; Stodolsky, 1993; Stodolsky, 1989)。

近年来，跨国比较的研究一致表明，亚洲学生，包括那些来自中国大陆、香港、台湾、新加坡、韩国和日本的学生，在数学方面表现明显优于在其他地理区域的同龄人，特别是在美国。为了寻找存在差异可能的原因，研究人员调查了学生使用的教材的特点，认为教科书在教与学的过程中起着重要的作用(例如，见Fan amp; Zhu, 2000)。

本研究是一个更大的研究努力的一部分，旨在调查中国大陆、新加坡和美国的数学教科书如何作为预期课程代表课堂教学和学习的问题解决。特别地，它的目的是研究在中国和美国的数学教科书中如何表现不同类型的问题。通过这样做，我们不仅希望提供一个有用的文档和知识如何选择数学教科书从东方和西方的两大教育系统为学生提供课程的环境受到不同类型的问题，也探讨可能的方法来提高数学教科书的代表性问题，反过来，可以提高学生的数学学习经验。而且，由于教材是目标课程的重要组成部分，在一定程度上也反映了教材开发者和教材选择决策者的教育理念和教育价值观，对教师的教学和学生的学习都有实质性的影响。因此，我们也希望本研究能为我们更好地了解中美两国学生在解决问题方面的学习经验以及在国际比较中的表现提供有益的见解。

2 方法

2.1 教材的选择

自1980年代末以来，在中国大陆和美国存在一系列各种各样用于课堂教学和学习的数学教科书，在中国大陆除了上海和浙江的所有地区，被要求遵循国家教学大纲和使用教材开发基于全国教学大纲。在进行这项研究时，总共有九套学校数学教科书在中学阶段使用。我们选择的数学系列教材是由人民教育出版社出版的，是中国使用最广泛的数学系列教材。事实上，据曾说，大约70%的初中生在使用PEP系列(曾，1997)。

众所周知，美国的教育系统传统上是分散的。在学校课程方面，近16000个学区中的大多数都设计了自己的课程或标准，通常由49个州(爱荷华州除外)提供指导(Peak, 1996;Usiskin amp; dosey, 2004)。美国教育系统的分散化也反映在全国学校使用的教科书种类繁多。在本研究中，我们选择了芝加哥大学学校数学项目(UCSMP)开发的系列教材。Fan amp; Kaeley(2000)指出,UCSMP是最大的,以及最先进之一,项目课程改革和发展在美国此外,Goertz(2000)报道,UCSMP系列是为数不多的几个程序,反映了高标准,并与国家和相关国家标准由全国数学教师理事会(NCTM、1989、2000)。事实上，UCSMP在国家层面被认为是最有前途的数学课程项目之一(美国教育部，数学和科学教育专家小组，1999)。话虽如此，我们想提醒读者的是，该研究本质上是一个探索性的案例研究，它并不打算将所选UCSMP系列的结果推广到其他美国数学教科书，这将需要进一步的工作，超出目前的研究范围。本研究共选取了中国大陆和美国的7本数学教材：

所选教材适用于中国大陆初中一、初中二年级的数学教学，美国初中七年级、八年级的学生年龄一般在13、14岁左右。我们之所以将研究重点放在这一特定的学校水平上，是因为我们认为，初中阶段是学生问题解决能力发展的关键阶段。事实上，研究表明，在11岁至13岁之间，问题解决策略的使用发生了显著变化(例如，莱斯科和斯莫克，引用了Days, Wheatley amp; Kulm, 1979;Yudin amp; Kates, 1963年)，和解决问题的指导在较低的中学水平比在其他学校水平，包括小学水平和中学后水平(例如，Hembree, 1992年;Pace,1986)。

2.2 概念框架

本研究从教材分析的角度出发，从问题的定义入手，建立了问题类型的概念框架。

虽然问题自古以来就占据数学课程的中心位置(Stanic amp; Kilpatrick, 1988)，“问题”一词被不同的研究者出于不同的目的而不同地使用。文献表明，在问题的定义上最大的分歧是，在情况和它的解决方案之间是否应该存在障碍。然而，判断一个情况和它的解决方案之间是否存在障碍可能是相当主观的，因为它取决于处理这个情况的人。换句话说，它不是形势的固有特征。教材研究，作出这样的判断更加困难，如果不是不可能的，不仅因为经常当和将如何使用书中提供的问题是不知道,但也有些学生之间可能存在有块情况及其解决方案,但其他人可能没有块。此外，我们相信培养学生解决常规问题或常规问题的技能在数学教学和学习中也具有根本性的重要意义，因为生活中“充满了常规问题”(Holmes, 1995，第35页)。

在这项研究中，我们将问题定义为一种情况，需要一个决定和/或答案，无论解决方案是否现成的潜在问题解决者。我们认为这一定义在教科书分析中更具有操作性和意义(参见范和朱，2000)。

基于以上定义，本研究将问题分为以下7类。为了得到清晰的解释，本文给出了一些不太常用的问题类型的例子。

常规问题与非常规问题。非常规问题是一种情况，不能仅通过一个标准的算法、公式或程序解决，在这个研究中，学生通常是容易得到的问题解决者。相反，常规问题是一个问题的解决者可以遵循某种已知的算法、公式或过程来获得解决方案，通常，解决方案的路径是显而易见的。更具体地说，如果一个问题是在文本解释之后提出的，该文本解释说明了可以用来解决这个问题的特定方法(例如，算法、公式或程序)，那么它就被视为一个常规问题。

传统问题与非传统问题。在本研究中，非传统问题由四类问题组成。第一个子类型是提出问题的问题，要求学生利用给定的信息作为问题情境来提出问题。第二种类型是谜题，通常可以让学生参与潜在的丰富娱乐数学。第三个子类型是项目问题，它是任务或一系列任务，涉及以下一个或多个过程：收集数据、观察、寻找参考、识别、度量、分析、确定模式和/或关系、绘制图表和交流。项目问题通常需要学生花费大量的时间(例如几天，几周，甚至几个月)来完成。非传统问题的最后一种类型是日记问题，要求学生写一篇文章来表达他们的想法、经验、问题、反思、个人理解或新的学习。通过学生的写作，教师可以获得关于学生学习和自己教学的有用信息。非传统问题的四种子类型的例子见表1。

开放式问题与封闭式问题。开放式问题是有几个或多个正确答案的问题。相应地，封闭性问题是一个简单的只有一个答案的问题，无论有多少种不同的方法可以得到答案。这种分类强调的是对情境的最终答案的开放性，而不是对情境的方法。

应用程序问题与非应用程序问题。非应用问题是指与日常生活或现实世界中的任何实践背景无关的情况。相比之下，应用问题是与现实环境相关或出现在现实环境中的问题。

表 I

四类非传统问题的样本

值得注意的是，这里的真实情况并不仅仅局限于学生的日常生活，而是在更普遍的意义上。在应用问题中，本研究进一步区分了两类。一类是虚构的应用问题(FAP)，其条件和数据是由教科书作者虚构的。另一种类型是真实应用问题(AAP)，其条件和数据确实来自于真实的情况或学生自己从日常生活中收集的。FAP的示例如下：

三声钟分别为8分钟、15分钟和24分钟鸣响。如果他们在下午3点收费站，那么他们再次收费站的时间是什么时候？(《智与禄》，1997年，第32页)

下面是AAP的一个例子：

一张报纸能折几次？解释你是如何得出你的答案的。(McConnell等人，1996年，第59页)

单步问题与多步问题。可以通过一个直接操作解决的问题被定义为单步问题。否则，这些问题就叫做多步问题。

数据充足问题、无关数据问题和数据不足问题。如果一个问题包含了足够多的信息或条件来解决这个问题，它就被编码为无关数据问题。如果问题中提供的信息本质上不足以获得解决方案，而且问题解决人员既不希望也不可能填补缺失的信息，那么这个问题就被认为是数据不足的问题。其余的问题，其中的信息完全足够问题

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ZHU YAN* and FAN LIANGHUO

FOCUS ON THE REPRESENTATION OF PROBLEM TYPES IN INTENDED CURRICULUM: A COMPARISON OF SELECTED MATHEMATICS TEXTBOOKS FROM MAINLAND CHINA

AND THE UNITED STATES

Manuscript submitted 27 January 2006; Final version received 27 January 2006

ABSTRACT. This study compared how selected mathematics textbooks from Mainland China and the United States at the lower secondary grade level represent various types of problems for classroom teaching and learning. The examination of problems was carried out based on the classifications of problem types established in the study, including routine problems versus non-routine problems, open-ended problems versus close-ended problems, traditional problems versus non-traditional problems, and application problems versus non-application problems, among others. Both the similarities and differences in the representation of problems in the selected textbooks were analyzed. The results were used to explore the possible influences of those textbooks on studentsrsquo; different performances in mathematics, as revealed in cross-national comparisons. Discussions about how to improve the representation of problems in mathematics textbooks were provided at the end of the study.

KEY WORDS: comparative study, mathematical problem solving, mathematics textbooks, problem types, textbook analysis

BACKGROUND OF THE STUDY

For the last two decades, the role of textbooks in mathematics teaching and learning has received mounting attention from the international mathematics education community. This growth of researchersrsquo; interest in textbooks can be observed from the fact that the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) included an analysis of hundreds of textbooks and other curricular materials from about 50 countries, and it was believed to be the first time for a study of such a large scale to include textbooks as a major research subject (Schmidt, McKnight, Valverde, Houang amp; Wiley, 1997). Nevertheless, compared to other research areas in mathematics education, studies focusing on textbooks are still inadequate, and, with this concern, many researchers have called for more studies centering on textbooks (e.g., Bishop,

1. Author for correspondence.

International Journal of Science and Mathematics Education (2006) 4: 609Y626

• National Science Council, Taiwan 2006

610 ZHU YAN AND FAN LIANGHUO

in press; Fan amp; Kaeley, 2000; Graybeal, 1988; Love amp; Pimm, 1996; Sosniak amp; Stodolsky, 1993; Stodolsky, 1989).

In recent years, cross-national comparative studies have consistently shown that Asian students, including those from Mainland China, Hong Kong, Taiwan, Singapore, Korea, and Japan, performed significantly better in mathematics than their peers in other geographical regions, particularly in the U.S.¹ To search for the possible reasons for the differences, researchers have investigated the features of textbooks that the students were using, with an underlying belief that textbooks played an important role in the process of teaching and learning (e.g., see Fan amp; Zhu, 2000).

This study is part of a larger research effort which aims to investigate how, as the intended curriculum, mathematics textbooks in Mainland China, Singapore, and the U.S. represent problem solving for classroom teaching and learning. In particular, its objective is to examine how different kinds of problems are represented in Chinese and U.S. mathematics textbooks.² By doing so, we hope not only to provide a useful documentation and knowledge of how the selected mathematics textbooks from the two largest educational systems in the East and West provide a curricula environment for students to be exposed to different types of problems, but also to explore possible ways to improve the representation of problems in mathematics textbooks, which can, in turn, improve studentsrsquo; learning experiences in mathematics. Moreover, as textbooks are a key component of the intended curriculum, they also, to a certain degree, reflect the educational philosophy and pedagogical values of the textbook developers and the decision makers of textbook selection, and have substantial influence on teachersrsquo; teaching and studentsrsquo; learning. Therefore, we also hope that this study can provide us with useful insights to better understand Chinese and U.S. studentsrsquo; learning experiences in problem solving, as well as their performances revealed in international comparisons.

METHODS

Selection of Textbooks

There exists a variety of mathematics textbook series being used for classroom teaching and learning in Mainland China and the U.S. Since the late 1980s,³ in Mainland China, all regions, except for Shanghai and Zhejiang, have been required to follow the national syllabus and use the textbooks developed based on the national syllabus. When the study was conducted, there were, in total, nine series of school mathematics

textbooks in use at the secondary level. The series of mathematics textbooks we selected for the analysis was published by the Peoplersquo;s Education Press (PEP), as it was the most widely used series in China. In fact, according to Zeng, about 70% of the junior high-school students were using the PEP series (Zeng, 1997).

It is well known that the education system has been traditionally decentralized in the U.S. With regards to the school curriculum, most of the nearly 16,000 school districts design their own curriculum or standards, usually with guidance provided by each of the 49 states (all but Iowa) (Peak, 1996; Usiskin amp; Dossey, 2004). The decentralization of the U.S. education system is also reflected in a much larger variety of textbook

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