一元二次方程的推导 ——针对高一学生解方程的分析研究外文翻译资料

一元二次方程的推导

——针对高一学生解方程的分析研究

原文作者 M.Gouml;zde Didiş,Sinem Baş,A.Kuuml;rşat Erbaş

单位Middle East Technical University

摘要：本文是针对10年级学生是如何来解一元二次方程进行论述的。为了这次研究调查，笔者对土耳其安塔利亚一所高中的113名学生设计了一个开放性的测试。这些数据是在学生们回答问题时进行分析的。测试结果显示，分解二次方程对于学生来说是具有挑战性的，尤其是当学生遇到他们所不熟悉的结构时。并且，尽管学生知道一些解二次方程的相关法则，但是他们并不知道为什么要用，也不知道运用这些法则在数学上是不是正确的。因此本文得到这样一个结论——学生们对于解二次方程的理解是工具性的，或者说是程序化的，而不是形成一个清晰的概念的关系型理解。

关键词：一元二次方程； 工具性理解； 关系型理解

前言

对于很多中学学生来说，解一元二次方程是在概念上最具有挑战性的一门课程之一（维亚瓦亚麦，伊勒顿，克里门茨，2005）。在土耳其，中小学的数学课程是全国性的，因此只要是数学课程覆盖到的地方，一元二次方程的教与学是通过因式分解，二次项公式和直接开平方等符号算法贯穿其中的。而在这么多的方法中，当一元二次方程出现非常显而易见的可分解因子时，学生们尤其偏好因式分解这种方法。因此有了这几种解一元二次方程的方法，学生们可以非常快的解二次方程，而忽略了注意二次方程的结构和概念意义。然而，Tayler和Mittag（2001）的调查却显示，因式分解技巧是一种非常象征性的东西。由于学生们只是简单得去记忆解一元二次方程的过程和求根公式，而对于一元二次方程的意义，其实了解的少之又少，也就更加不清楚怎么去做以及为什么要这样做了。以上这个结论，我们可以通过Skemp（1976）的数学的工具性理解和关系型理解的理论来描述。对于工具性理解，他将其非常简单地解释为“没有原因的规则”，对于关系型理解，他将其解释为“知道去做什么和为什么这样做”。借用Skemp的解释，学生们可以非常工具性地利用因式分解等技巧去解一元二次方程，却失去了对一元二次方程最本质的理解。

尽管一元二次方程在中学代数课程中扮演着非常重要的角色，然而有关一元二次方程的教与学的研究却在代数教育领域非常匮乏(Kieran,2007;Vaiyavutjamaiamp;Clements,2006)。因此，本文致力于去拓展有关学生学习不同类型的一元二次方程方面的这一空白领域。尤其，本文将包括学生利用因式分解法解一元二次方程的过程。

这项调查的发现，可能会帮助教师了解学生在解一元二次方程时容易发生的普遍错误，从而能够帮助教师用更加高效的教学设计来教学生如何解一元二次方程。

学生解一元二次方程的易错点

Kotsopoulos（2007）的调查表明，对于很多中学生来说，解一元二次方程是在中学课程中最具概念性挑战的困难之一。她认为，很多学生在解题遭遇困难时会回想主乘法算式，这直接影响到了她们解一元二次方程的能力。并且，由于用因式分解法来解一元二次方程要求学生具备非常迅速的找出因子的能力来分解简单的一元二次方程（比如），这对于学生来说已经具备了一点的难度，因此对于那些更加复杂的一元二次方程，比如（并且）的难度就显得是一项不可能完成的任务。此外，学生们陷入的更加至关重要的麻烦便是分解那些不具备标准形式一元二次方程。比如说，分解对学生来说就比较具有挑战性了，因为从形式上来看，这个方程并不具备标准形式 (Kotsopoulos, 2007) 。同样地，Bossegrave;和Nandakumar (2005)也认为运用因式分解技巧来解一元二次方程是有一些问题存在的。他们坚持当一个方程的各项被分成好几个部分的时候，学生们在进行因式分解时会觉得更加复杂。

Skemp（1976）的关于工具性理解和关系型理解的描述可以被当做框架来讨论学生在运用因式分解法解一元二次方程时所遇到的困难。一方面，因式分解解一元二次方程的工具性理解需要牢记数学法则和公式，另一方面，关系型理解能够帮助学生理解不同形式的一元二次方程(Reason, 2003)。也就是说，当学生们对于解一元二次方程的方法形成了关系型理解，那么他们就可以很容易地运用知识在不同情形的情形下解决问题(Skemp, 2002)。

Lima (2008)发现，学生们很可能用理解算术的方法来理解一元二次方程。他们偏好用他们过去所喜欢的方法与形式而没有去关注所包含的概念。维亚瓦亚麦和克里门茨将学生们在解一元二次方程时出现的困难归咎于同时缺乏对于相关联的数学知识之间的工具性理解和关系型理解。他们找到了一些会造成对一元二次方程的理解困难的容易被忽视的概念。比如说，即使大部分学生都算出了或者，大部分人还是会认为中的两个指的是不同的变量。因此他们得出这样一个结论——学生的表现归咎于死记硬背和对关联性理解的缺乏。

方法论

参与者与工具

这个调查的样本来自四个10年级班级的113名学生，调查地点是在土耳其安塔亚的一所中学，调查时间是在2009-2010的春季学期。

为了这次研究目的，由于并没有专门针对学生容易出现的错误和理解的考试，因此笔者专门针对这一现象设计了一份调查问卷。调查问卷中的问题都是来自于中学数学课本中有关于一元二次方程方面的知识，这些问题的设计都是为了调查学生们对于一元二次方程的根和解法的客观理解。在挑选测试问题的过程中，有两位数学教育家和数学老师会对选定的内容与测试的目标是否一致进行协商。鉴于他们的建议，调查最终由七道开放性问题来呈现。虽然所有的问题在格式上是开放性的，但是它们包含了各种类型使得他们能够与测试目标一致。问题1至4是让学生在标准形式下找到给定一元二次方程的解。这些问题是在程序化技术的基础上进行设计的，目的是在于测试学生们解不同形式的一元二次方程的能力。另一方面，问题5至7所包含的数学场景包括了一元二次方程和相应的解法。在这些问题中，学生们需要判断给定的一元二次方程的解法是否正确，并且给出理由。因此，除了那些死记硬背的技巧之外，这些问题还可以用来检测学生们在解一元二次方程时的理解能力与推理水平。

数学教师们会在平时的上课时间给学生们30分钟的时间来完成这份调查。

数据分析

首先，根据回答的内容每道问题的得分是1或0分。如果解答的过程与结果都正确的话就会得到1分，如果答案或者过程有错误的话就记0分。然后，为了得到学生们的普遍看法，调查计算了正确与错误的百分比，以及一些被忽略的问题。这一步的目的就是为了描述性分析，接着进行定性分析。接受调查的学生的反应也纳入分析的范围，以提供他们对于他们各式各样的理解的有关基本信息。在分析中，研究人员试图去确认学生们在解一元二次方程中会犯的普遍性错误是什么。因此，在基于学生们解决问题时的测试环境背景下，所有问题的错误答案都进行了逐项分析。在这个过程中，学生们的各类错误由两位一开始就分开工作的调查者进行了编号。接下来，两位研究人员将一起将所有错误根据各自的特点重新组合与分类。最后，这些错误将被用来解释学生们的工具性理解和关系型理解。

结果

工具性理解的第一项是有关于标准形式下的一元二次方程的根（）。几乎所有的学生都用因式分解法解答了这道题。在接下来的问题中，一元二次方程将用不同的结构来呈现（比如）。在这种的类型的问题中，只有64%的学生正确解答了。当对剩余36%的学生的解题过程进行分析后，发现他们的错误基于两种不同类型。

“解方程：”

图1 学生的错误类型1

“解方程：”

图2 学生的错误类型2

“解方程：”

图3 方程形式改变时学生出现的错误

在第一种错误类型中（如图1），学生把-2x从等号左边移到右边，然后将等号两边的x消去。所以从结果上来说，这些学生忽略了方程的另一个根，也就是0。而第二种错误（如图2）是由于学生们尝试着去因式分解，但是他们只死记硬背了如何把标准形式的一元二次方程进行分解，而忽略了此题的方程结构，因此导致了错误。还有一种类型的错误有12%的学生犯错，是因为他们不熟悉解常数项在等号右边的一元二次方程，所以他们最终也只求出了一个解。

表1 学生在问题5里出现的常见错误类型

即使所有的学生在看了以上四种错误类型后都表示，这名叫做Ali的学生的答案是正确的，他们给出的理由也不尽相同。首先在第一种类型中，学生将标准形式下的方程进行因式分解。在第二种类型中，学生不知不觉中用了空因子法则。第三种类型中学生甚至将具体的数字代入x来解方程。说明犯这三种类型错误的的学生都不能清楚的辨别如何正确解一元二次方程。在第四种错误中，学生用x=3和x=2分别取代（x-3）和（x-2），并且认为他们得到的结论是正确的因为0·0=0.也就是说，他们认为这里的x代表的是两个不同的数。

表2 学生在问题6里出现的常见错误类型

在第一种和第二种（如上表）类型中，学生们对于给定的问题的解法是错误的。不过，为了解释这些错误，他们给出了过程解释就像问题5的第1、2、3中类型一样（见表1）。在类型三中，学生们将错误答案认为是正确的，看到像这样的解释“因为结果是对的，所以求得等于3而不是0”，也就是说学生们用错了法则。学生们并不检验他们求得的根是否是正确的。

表3 学生在问题7里出现的常见错误类型

在第一种类型中（见上表），学生认为自己的答案是正确的。他们用一种适用的解法来解释。由于他们只是单纯得去记住法则而不是去理解，他们只能大概得去呈现解题过程。在第二种类型中，学生知道方程的两个根是0和2/3，但是他们并不知道当等号两边同时消去一个x时，0这个根是不存在的。第三种情况中，为解决方案的解释只是基于替代方法。在声明中四学生错误地说，答案是正确的。就像在报表二，取消学生在一个x时，不知道缺少根0方程。

探讨

调查结果表明绝大部分的学生使用因式分解法来求解一元二次方程。这一结果可以支持Bosse和Nandakumar (2005)的理论，他们坚称大部分学生偏好用因式分解法这一手段来解一元二次方程。同时，Bosseacute;和Nandakumar (2005) 以及Kotsopoulos (2007)的理论显示，当一元二次方程不是标准形式时，运用因式分解法对于学生来说是有一定难度的。在看了学生们的几个解答的例子（见图1、2、3）后，我们可以说学生们会一些解一元二次方程的方法，但是他们并不知道自己为什么要用这个方法以及这个方法是否正确。这些结果某种程度上给出了一些线索来解释学生们在解一元二次方程时的工具性理解。但是，想要像Skemp (2002)一样对学生们的工具性或关联系理解下一个非常准确的判定，可能需要更深入得对学生个体进行采访。此外，研究还表明学生们试图错误地将一些法则在不同形式的方程之间传递（如图2），这也可以用来解释学生们的工具性理解(Reason, 2003)。

问题6同样可以得到类似的解释。有解释给定的解决方案，涉及到他们的推理的两个要点。首先，尽管我们希望学生解释自己的错误，但是他们并无法发觉自己的概念性错误。他们只是给出了一些法则和过程来解一元二次方程。第二，我们可以从第三、四类型中看出（见表2），是由于学生缺乏对标准形式下的一元二次方程概念的理解。这也可以用来解释学生们的工具性理解。因为当学生们完全理解一个法则时，他们可以在不同的题目背景中运用自如(Reason, 2003)。那么像在第7题中，学生们为什么无法解释自己删除x，也是同样地道理。也就是说他们没有意识到，当x分别从两边消去时，0这个根就消失了。

总而言之，学生们在解一元二次方程时只是想着如何快速解决而不注重理解方程的概念意义(Souml;nnerhed, 2009)。虽然由于并没有深入地访问学生，我们并不能确保他们的结果可以用来解释工具性或关系型理解，但是他们的答案还是为结论提供了线索的。

当具备了工具性理解，学生们其实并不怎么会遇到麻烦。因为和关系型理解相比起来，工具性理解更容易去掌握和使用，因为工具性理解并不需要学生们掌握很多的知识，并且大部分时候都能够很快的解一元二次方程。然而，没有关系型理解学生其实很难适应新的课程，并且学生们也很难给出答案的理由(Skemp, 2002)。正因为这样，我们需要更加关注概念的传授，这样才能减少学生的死记硬背。任何解题的手段都必须要让学生们名表它的过程，才能够让他们得到正确答案，否则，他们所学的都是无用功。

意见与建议

作为这次研究的结论，本文提出了一些建议和意见来帮助学生对一元二次方程的理解。由于学生们对于非标准形式的一元二次方程进行因式分解有些困难，教师们可以在课堂中介绍多种多样的方程类型而不是单一的一种。此外，教师应该强调分解因式的意义而不是仅仅让学生当做法则来记忆。此外，由于学生要对不同类型含义的理解，各种代数符号需要被考虑在内。因此，如果教师能够强调代数符号的意义，学生们就能够更容易得去理解一元二次方程中的符号。另外，如果教师能够鼓励学生一题多解，也能够加强学生们的学习并帮助他们概念性的理解。

毫无疑问，教师在鼓励学生有联系地学习中发挥着非常重要的作用。这应该是教师的学科教学知识的最重要的部分。然而，研究证明在这方面中学数学教师缺乏学科教学知识。(Vaiyavutjamai,Ellerton, amp;

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