数学问题研究外文翻译资料

数学问题研究

P. Winkler

摘要：函数方程类似代数方程,它是关于未知函数而不是未知数的方程。G.Small在本书详细介绍了初等函数方程的各种常见解题技巧与方法。本书之目的是为大学以及中学水平的学生学习函数方程提供一本初等函数方程求解的入门读物。

关键词：初等函数，函数方程

1.1 序言

在高中代数学习中,我们学习代数方程涉及到一个或多个未知的数，这些数都属于实数。函数方程就像代数方程一样,不同的是方程中的未知数的范围不是属于实数，而是一个个的未知函数。这本书就是关于函数方程的有关介绍：关于它们在当代数学中担当的角色以及自身所表现出来的技术,以及对他们的实际问题的相关的解决方案。功能方程经常出现在函数方程中，有关于数学田径运动方面。所以这本书的目的是为了那些希望能够解决涉及在高中或大学中遇到的函数问题以及函数方程时候提供帮助的学生而提供的工具包。

在本章中，我们采取一个相当宽泛的方式先来看看函数方程的函数关系式。而不是着眼于解决此类方程。对于后面的章节题目，我们将展示的是函数方程是如何产生的数学研究。好的，我们进入的主题将是主要的，但不是唯一的，历史的。

1.2 尼克尔奥雷姆

数学家一直花在函数方程的时间比正式的常规的一直存在的更加的长。早期的函数方程的例子可以追溯到远在14世纪的数学家尼科尔奥雷姆，他的那个用函数方程的方法提供了线性函数间接定义的工作。诺曼遗产，奥雷姆出生于1323和1382去世为了把这些日期的角度来看，我们应该注意的是，可怕的黑死病，它席卷欧洲可能杀死尽可能多的人口的三分之一，而他发生的时间是十四世纪。虽然黑死病的起源尚不清楚，但是我们知道，是由1347年12月通过了西西里岛，撒丁岛，马赛则港市的港口城市的口岸达到了地中海西部。它在1348年的春天到了巴黎，已经遍布全国大部分地区。在1348年，在数学的历史上也是有一定意义，因为这是尼科尔奥雷姆被记录在奖学金获得者在巴黎大学名单的年份。如此看来，奥雷姆在黑死病抵达这个城市本身的时候在1340年代初期的时候在巴黎大学曾经就读过一段时间。今天，也许，我们很可能会想知道，在这种灾难性的疾病面前，学者如奥雷姆都能够蓬勃发展。然而，黑死病是更具破坏性的。随后便是奥雷姆的发现他和他的同事们利用了黑死病的破坏性影响，在这段时间里完成了很多他们的教育性的东西。通过1355年，奥雷姆获得了神学学位硕士，并于此后不久任命为大法师在学院纳瓦拉，这个学院是巴黎大学的学院，成立于1304年。尼科尔奥雷姆可以说是十四世纪最伟大的欧洲数学家。但是可惜的是他在1382年在利雪去世了。虽然他住在一个中世纪的世界里，一个亚里士多德的著作是对自然哲学的支配性影响力的世界。也就是我们现在所说的自然科学。奥雷姆的学术著作预示了文艺复兴和启蒙运动时期，一个脱离了亚里士多德重新制定力学定律后的作家的一个作品，并通过这样做，创造经典物理学的领域。1352年，奥雷姆写了一篇论文，主要的均匀性和强度的畸形，里面写了一些关于经典物理学的各种内容，也用到了早期的函数方程。在这个重要的工作中，奥雷姆完成了建立两个变量之间的函数关系的定义和理念（提前笛卡尔和RE），人们可以通过我们现在所说的图形几何来表达这种函数关系。在第1部分，他因此写了它可以连续地获得每一强度应该是由直线垂直竖立在某些点上的空间或地点上的。例如，一个质量可想而知。无论出于何种比率被发现强度和强度之间存在，在相同种类的关系的强度，类似的比率被发现线路和线路，versa.Of在他的论文中央兴趣副之间存在是匀速运动和“的概念不同形状均匀的议案“，后者表示粒子进行单的形式加速运动。也被认为是“difformly不同形状的议案”，在加速自身不同的。在四角的质量部分，奥雷姆就小心翼翼地定义他的制服difformity（即线性），如下的概念。

均匀质量是所有的点都是收到的力都是同样强烈，而质量均匀不同形状是其中如果任何三个点，该距离的第一和第二个之间的比率在第二和第三间的距离是作为过剩中的第一个点上，所述第二点的过量的所述第二点上的第三点的的强度的比值，呼叫第一这三个点的最大强度的。由于Acz埃尔[1984]和Aczel和Dhombres[1985]注意到，通过去罚款的线性函数（即质量是均匀变形）通过函数方程。在现代的术语，我们将有三个不同的4实数x，y和z，例如，这是在通道上面被描述为三个点的主题行。相关联，其中x，y和z，我们有一个变量（即，质量在每个点的主题行中的“强度”），我们可以写为F（X）中，f（y）和F（z）的分别。函数f被定义为直链的，或“均匀地变形”如果

对于不同的x,y,z的值.

是什么使奥雷姆的定义的官能方程是f被抽象地处理：1可以插入任何功能到该方程以查看公式是否满足对于所有可能的x，y和z。我们可以用标准的定义比较这在大多数介绍现代教科书说，一个线性函数的形式为

对于一些a,b来说

奥雷姆的“均匀地不同形状”（即，线性的）的功能，由功能方程定义。重绘和改编自手稿图他tractatus德configurationibus qualitatum等motuum。插图的平均速度定理。

奥雷姆的等式（1.1）是一种功能性方程。在（1.2）的定义是它的解决方案。需要注意的是奥雷姆的定义不允许恒定线性函数其中a =0。这是忠实于他的意图在这里，这区别于均匀函数，根据该选择，并且a =0，分别均匀地不同形状的功能。

1.3圣文森特格雷戈里

在接下来的几百年里，函数方程被使用，但这样的方程无根，ERAL理论出现。这样的数学家中，值得注意的是圣文森特格雷戈里（1584年至1667年），其作品在双曲线做出隐式使用的功能方程f（XY）= F（X） F（Y），并率先推出了对数论。

圣文森特的结果出现在他的伟大著作1647题为作品Geometricum quadraturae circuli sectionum CONI。如果这项工作的标题太长，论文本身约1250页，花费更长的时间！它处理用于计算区域，并与圆锥sections.In特定的性能的方法，圣文森显示它是如何能够计算下一个双曲线的区域，如Y = X-1，如图1.3。在近代，曲线下，如双曲线的面积通常是留给一体化理论的话题。然而，圣文森特用纯粹的几何参数对这个问题取得了很大的进步。特别是，圣文森特的说法是基于以下GE-ometrical原则。

图1.2同步拉伸和平面区域的perpendicu-LAR方向萎缩。如果一个区域被同时拉伸并用相同的因子缩水在垂直方向上，该面积将保持不变。

图1.3圣文森特格雷戈里承认，根据一个双曲线的面积满足函数方程率先对数的理论。使用上面显示面积不变的几何参数，圣文森特格雷戈里能够获得现在的对数相关的函数方程。

如果平面区域被水平拉伸由一个给定的因数，并且同时用相同的因子垂直缩小，然后将所得的区域有一个区域，其等于原始region.For例的，在图1.2中，我们看到一个平面区域已被垂直地和水平缩放以具有2水平的因子拉伸，并以2垂直的因子缩小。所述第二区域具有相同的面积为第一。

现在让我们看看这个几何原理适用于该地区的双曲线设f（x）表示从1到图中所示的1.3 x中间隔的阴影区域，并考虑在相同的双曲线竖立在区间与y对应的阴影区，XY任何Ygt;1 say.Comparing两个阴影区域，圣文森指出，他们由沿x轴y的比例因子不同，并通过y的比例因子-1沿y轴。因此，这两个区域的面积必须相同。

与从y以XY基阴影区域的面积为f（XY）-f（y）的。这一个事实，即从y以XY双曲线下的区域是恰好是由从该区域1中除去从1区到y向的xy得到紧随。因此，使用圣文森的缩放参数，我们有

f(x) = f(xy) minus; f(y)

或等价的

f(xy) = f(x) f(y).

我们现在认识到这个方程式为特色的函数方程为对数的家庭。然而，理论工作是连接这个函数方程，以对数的家庭不得不等待奥古斯丁·路易·柯西的工作。

随着他对圆锥曲线的工作和面积的计算，圣文森还记得从他的论文作品geometricum，在那里他学习无穷级数的第二部分的贡献。与他的领域的工作，疲惫的方法，和系列，圣文森特格雷戈里是微积分和分析的现代方法的早期开拓者之一。

1.4奥古斯丁·路易·柯西

虽然线性尼科尔奥雷姆的定义可以被解释为一个函数方程的一个早期实例，它并不代表一个起点的函数方程的理论。函数方程的主题更正确地从AL柯西的工作日期。出生于1789年在法国巴黎，柯西早年正值法国大革命。把他的出生日期在上下文中，我们应该记得，在法国大革命普遍追溯至10年间1789-1799，与巴士底狱的1789年的风暴在1799年，大约开始当年轻的柯西十岁的时候，一般的拿破仑·波拿巴领导了反对督政变，开始了一段法国的直接军事统治。由于柯西家有保皇党的同情，他们离开了巴黎，并没有返回，直到1800年一个强大的君主本人，奥古斯丁·路易·柯西后来违背了共和党和拿破仑趋势在法国期间，他早年。一位才华横溢的数学家，柯西先后在数学的许多领域。不过，他主要是出名的是他对微积分的工作，是公认的数学浅析浅析函数方程的现代理论是特别柯西是相关联的创始人之一

f(x y) = f(x) f(y)(1.3)

对于所有真正的X和Y，而现在被称为柯西方程。它需要找到所有实值函数f满足公式（1.3）。现在，读者可以马上看到，柯西公式是由形式的任何功能满足

f(x) = ax,

常数a是任意的实数。然而，我们的发现了一个简单的解决这个方程能力是故事的一小部分。我们还必须问是否形式的f（x）的函数族= AX是一套完整的解决方案，所有的方程（1.3）。这似乎是合理的，这样的线性函数是唯一的解决方案（1.3）。然而，这种原来仅当一些轻微限制时函数f施加是真实的。例如，形式F（X）= AX的功能是它们一定在形式（-c，c）部分的间隔，之类的功能中唯一的解决方案（1.3），其中cgt;0。另外，也可以示出的f（x）=斧头形成之间的真实line.We连续实值函数的唯一级解决方案的研究这一方程及其详细的解决方案中的第2章。

究竟是什么动机全套所谓的决方案，以（1.3）柯西调查？要理解这一点，我们必须研究柯西严格的二项式定理的一般性发言的推导。几个世纪以来，数学家们知道公式

(1.4)

对于n的非负整数。这笔款项的二项式系数，即

(1.5)

在Pascal三角众所周知的条目。

实际上，在（1.5）中定义的二项式系数由式被有意义地定义，当n被替换任何实数z，只要我仍然是一个非负整数。这是艾萨克·牛顿谁，在1676，演示了如何延长（1.4）二项公式，以扩大（1 X）z的在x的权力时，z为任意实数。牛顿公式

(1.6)

是一个无限总和，这减少了对有限和在（1.4），因为（Z 1）后，术语消失时z是一个非负整数。不幸的是，牛顿的证明（1.6）是不严谨的。所以这是留给以后的数学家，以填补在整个争论。柯西开始通过考虑等式（1.6）的右侧。该出现的第一个问题是这样的表达是否具有任何意义的。例如，如果Z =-1且x =1，我们得到

1 minus; 1 1 minus; 1 1 minus; ... ,

不收敛于一个有限的实数，因为越来越多项求和，尽管事实上的（1.6）的左手侧等于1/2。柯西严格证明，当| X |lt;1的右手侧不收敛于一个（有限的）实数用于z的所有实数值。于是，他定义的函数

(1.7)

并表明通过组合参数和规则乘两个这样无限的款项

(1.8)

所有真正的z和w这个函数方程称为柯西指数方程。很容易让人单纯采取对数，以把它变成（1.3）。但是，我们必须要小心检查了f（z）gt;0，我们才可以说，F（Z）是有意义的。为大家展示，解决柯西指数方程或者是无处不在零或到处都是严格正。因为后者是这里的情况，我们可以采取对数，得到方程

g(z w) = g(z) g(w)

其中。为了表明，（Z）= AZ对于某些Z，柯西不得不证明是连续函数。事实证明，这是比他预料的要难。经核实G（Z）= AZ对一些一，他能够得出结论，F（Z）= BZ为B的一些值。具体地，F（1）= B。它仍然是柯西观察到B =1 X，即立刻通过设置Z =1（1.7）推导出一个事实。

外文文献出处：Problem Books in Mathematics 中1—7页

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

Problem Books in Mathematics

An historical introduction

1.1 Preliminary remarks

In high school algebra, we learn about algebraic equations involving one or more unknown real numbers. Functional equations are much like algebraic equations, except that the unknown quantities are functions rather than real numbers. This book is about functional equations: their role in contempo-rary mathematics as well as the body of techniques that is available for their solution. Functional equations appear quite regularly on mathematics com-petitions. So this book is intended as a toolkit of methods for students who wish to tackle competition problems involving functional equations at the high school or university level.

In this chapter, we take a rather broad look at functional equations. Rather than focusing on the solutions to such equations—a topic for later chapters—we show how functional equations arise in mathematical investigations. Our entry into the subject is primarily, but not solely, historical.

1.2 Nicole Oresme

Mathematicians have been working with functional equations for a much longer period of time than the formal discipline has existed. Examples of early functional equations can be traced back as far as the work of the fourteenth century mathematician Nicole Oresme who provided an indirect definition of linear functions by means of a functional equation. Of Norman heritage, Oresme was born in 1323 and died in 1382. To put these dates in perspective,we should note that the dreaded Black Death, which swept through Europe killing possibly as much as a third of the population, occurred around the middle of the fourteenth century. Although the origins of the Black Death are unclear, we know that by December of 1347, it had reached the western Mediterranean through the ports of Sicily, then Sardinia, then the port city of Marseilles. It reached Paris in the spring of 1348, having spread throughout much of the country.The year 1348 is also of some significance in mathematics, because that is the year that Nicole Oresme is recorded in a list of scholarship holders at the University of Paris. Thus it appears that Oresme was studying at the University of Paris from some time in the early 1340s up to the time the Black Death arrived in the city itself. Today, perhaps, we might well wonder how, in the face of this calamitous disease, scholars such as Oresme were able to flourish. However, the Black Death was more disruptive for the generation that followed Oresme. He and his colleagues had completed much of their education by the time that the Black Deathrsquo;s devastating effects were felt. By 1355, Oresme had obtained the Master of Theology degree, and was soon thereafter appointed Grand Master at the College of Navarre, one of the colleges of the University of Paris,founded in 1304. Nicole Oresme was arguably the greatest European mathematician of the fourteenth century. He died in 1382 in Lisieux.

Although he lived in a medieval world in which the writings of Aristotle were the dominant influence on natural philosophy—what we would now call the natural sciences—Oresmersquo;s scholarly work foreshadowed the work of later writers in the Renaissance and Enlightenment periods, who broke away from Aristotle to reformulate the laws of mechanics and, by so doing, create the field of classical physics. In 1352, Oresme wrote a major treatise on uniformity and difformity of intensities, entitled Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum. In this important work, Oresme established the definition of a functional relationship between two variables, and the idea (well ahead of Racute; enacute; e Descartes) that one can express this relationship geometrically by what we would now call a graph. 1 In Part 1 he wrote Therefore, every intensity which can be acquired successively ought to be imagined by a straight line perpendicularly erected on some point of the space or subject of the intensible thing, e.g., a quality. For whatever ratio is found to exist between intensity and intensity, in relating intensities of the same kind, a similar ratio is found to exist between line and line, and vice versa.Of central interest in his treatise is the idea of uniform motion and “uniformly difform motion,” the latter denoting the motion of a particle undergoing uni-form acceleration. 3 Also considered was “difformly difform motion,” where the acceleration itself varied. In the section on quadrangular quality, Oresme took care to define his notion of uniform difformity (i.e., linearity) as follows.

A uniform quality is one which is equally intense in all parts of the subject, while a quality uniformly difform is one in which if any three points [of the subject line] are taken, the ratio of the distance between the first and the second to the distance between the second and the third is as the ratio of the excess in intensity of the first point over that of the second point to the excess of that of the second point over that of the third point, calling the first of those three points the one of greatest intensity.

As Aczacute; el [1984] and Aczacute; el and Dhombres [1985] have noted, the passage de-fines a linear function (i.e., a quality which is uniformly difform) through a functional equation. In modern terminology, we would have three distinct 4 real numbers x, y, and z, say, which are described in the passage above as three points of the subject line. Associated with x, y and z, we have a variable(i.e., the “intensity” of the quality at each point of the subject line) which we can write as f(x), f(y), and f(z), respectively. The function f is defined to be linear, or “uniformly difform” if

for all distinct values of x, y, z .(1.1)

What makes Oresmersquo;s definition a functional equation is that f is treated abstractly: one may plug any function into this equation to see whether the equation is satisfied fo

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[286955]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word