矩阵韦达定理外文翻译资料

矩阵韦达定理

数学与应用数学 庞露莎 指导老师：尤英

1. 简介

考虑矩阵代数方程为：

（1）

其中，系数以及解的应该是一些复杂的阶正方形矩阵.对于n阶经典韦达一个常用的代数方程公式中的n个解表示的系数.然而一个矩阵的次方程一般有个解决方案，而不是个.（在这篇文章中的词一般是指一个Zariski开集）.

如果他们确定系数，我们称之为个解的方程.(具体的解释证明见第二节）.然而，相比于用韦达定理来表示，显然不否完美（见下面（3）-（5）的式子）.跟之间明显有类似于韦达定理的关系.

定理1.1 如果（1）式内的是相互独立的，那么

（2）

定理1.1将在第四节证明.在5节中我们讨论了复杂的矩阵代数的一个推广定理1.1

任意联想酉圈.

定理1.1虽然是初级的，但是它与现代数学有着紧密的联系.每一个线性代数都可以构造一个线性空间,这个空间出现在[ k ]为0空间上的非交换的形式多种多样.空间也出现在和有关的其他问题之中.这是很容易理解的，

1. 独立的矩阵

定义2.1 如果矩阵的集团范德蒙不为0，则称是独立的：

.

对于的独立条件意味着，对于并不意味着不受的限制，此时.

很明显，一个通用的方程（1）有n个独立的解决方案.（否则，对于上述的行列式对任意的个解得出的答案都为0）. 很明显，矩阵如果仅存在独立的的，.这样，我们便说满足方程（1）.换句话说，对于独立的矩阵，可以通过来表述.例如，如果，那么

(3)

对于，我们是不可能写出所有的独立的矩阵公式；例如，如果，那么

(4)

已知右边的等式存在（也就是说不遵循相互独立的条件），否则会有不同的表达.

一个的表达式，相当于函数，对于有意义的独立的，可能在Gelfand–Retakhrsquo;s条件下给出，其定义如下：

定义 2.2 .令是一个形式的非交换条目的方阵.对于表示的矩阵的子矩阵.这个公式是

（满足于当时，）系统得用来归纳矩阵.（在交换的情况下，).

Quasideterminants具备一些基本性能的决定因素；特别的，下面的Kramer rule所有的.

命题 2.3 .如果（ ）是方程组的解，那么，

，

对于任意的，

，

当和从中选取并且它的第项能被第（）项替换.

推论 2.4. 对于一般的相互独立的，对于任意的

（5）

这个表达式的次数(伴随着一个小符号的变换和的变化）称作,7.1节，在中第项的基本对称函数.在中证明了，而且很明的从推论2.4可以得到，通用的在真的很对称.

三、的情况

因为对于任何的方阵

,

下面正是定理1.1在时的情况.

命题3.1. 令是同阶非退化的平方矩阵.如果，

(6)

那么

证明.1. 等式（6）说明

(7)

因为 所以可得

因此 (8)

所以关系式为

同时还有关于等价关系式

因此，由（8）可以得出

1. 从第一个等式（6）可以得出

(9)

通过（7）式我们可以得到

因此

由（9）式可得

四、一般情况下

不像上面的证明，我们证明在一般情况下不降低直接计算和使用矩阵代数的细节.

引理4.1.令、为阶方阵，让矩阵的特征根分别为的两个互不相关的复数.如果

（10）

当时，

证明.令的特征值为，令对任意的意味着

据此

显而易见的，

是一个阶层为的多项式，因为而且所有的都是不同的，所以

（11）

常数项和各项的系数等同于把放在（11）式的两边.

可以得到

备注 4.2.多项式的系数等值于（11），我们可以得到个一致的系数.他们大多数涉及到矩阵，通过组合不同矩阵的列，但在这两个极端的情况下（中的或）我们得到的公式值得一提：

（12）

（13）

其中在(12)中表示第二个系数（系数为）一个矩阵的特征多项式.（13）有意义的条件是是非退化的.

定理1.1.的证明，令（）所有的数集（）的独立矩阵和所有的数据集（）的矩阵的特征值两两互不相同.显然，两者都是开放和非空的zariski.因此密集在.根据引理，等式（2）属于.因此每个的等式（2)在()连续.在整个内（2）都满足.

五、进一步推广

设是统一的结合环，是一个域.假设有一个固定的加法同态对任意的都满足条件，或者一个环同态（或者同时满足两个条件）.

命题5.1.令并且是可逆的.如果那么或者,对任意一个定义.

这个证明跟第三部分的证明是一样的.

将定理1.1推广到任意环的一般情况下,我们需要一个表达式的通过来表示.

定理 5.2.令

是通过的表达式，涉及到环的操作，和逆矩阵有着一定的联系（如（3）、（4）、（5））.对于任何一个每个都是相同的

只要两个等式都成立（即或的定义，并在中存在或满足条件）.

定理5.2无法通过类似于第4节的参数证明。但是众所周知的，它跟复杂矩阵和环还存在着一定的联系.因此定理5.2.遵循着定理1.1.

感谢.我们感谢C.Itzykson 和I.Kaplansky跟我们之间有趣的讨论.

外文出处：

Davis Ca. Matrix vieta theorem[EB/OL]. http://arxiv.org/pdf/math/9410207.pdf.

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