中值定理
5.7 定义 设是定义在度量空间X上的实值函数，称在点取得局部极大值，如果存在,当,而且时有.
局部极小值可以相似定义.
下面定理是导数的应用的基础.
5.8 定理 设定义在上；，如果在x点取得局部极大值而且存在，那么，.
对于局部极小值的类似命题，也是正确的。
证，按照定义5.7任取，那么
若是，就应该
令,可得
若是，就应该
这可知，所以.
5.9 定理 设是上的连续实函数，它们在中可微，那么便有一点，使得
.
注意：并不要求在区间端点上可微.
证 令
.
那么h在上连续，在内可微，而且
（12）
要证本定理，就得证明在某点
如果h是常数，那么无论在哪一点,都有.如果有某个使得，设x是使h达到最大值的点（定理4.16），从（12）来看，，于是定理5.8说明.如果有某个使得，只要把在内的那个x选得使h达到它的最小值，上述论证仍然有效.
这个定理通常叫做一般中值定理；下面的特殊情形就是通常所说的中值定理.
5.10 定理 设是定义在上的实连续函数，在内可微，那么一定有一点，使得
.
证 在定理5.9中，取即得
5.11 定理 设在内可微，
- 如果对于所有,,那么便是单调递增的.
- 如果对于所有，,那么便是常数
- 如果对于所有，，那么便是单调递减的.
证 所有结论都可以从下列等式推导:
,
这等式对于中的任意一对成立，而x是与之间的某个点.
导数的连续性
我们已经看到（例5.6（b)）一个函数可以有处处存在、但在某些点间断的导数.可是，并不是每个函数必定是个导函数，尤其注意的一点是，在一个闭区间上处处存在的导函数与闭区间上的连续函数直接，却有一个重要的共同性质，任何中间值都能渠道（比较定理4.23）.确切的表述是
5.12 定理 设是 上的实值可微函数，再设，那么必有一点使.
对于的情形，当然也有相似的结果.
证 令.于是，从而有某个使得；同样，，从而有某个使得.因此，据定理4.16，g在（a,b)的某点x上达到它在上的最小值，再据定理5.8，,因而.
推论 如果在上可微，那么在上便不能有简单间断.
但是很可能有第二类间断.
法则
下面的定理在求极限时经常用到.
5.13 定理 假设实函数和在内可微，而且对于所有，.这里.已知
当时， （13）
如果
当时， （14）
或是
当时， （15）
那么
当时， （16）
如果是,或者（15）中如果是,各种类似的叙述自然也都是正确的.注意，我们现在是按照定理4.33推广的意义在使用极限概念的.
证 先考虑 的情形.选择一个实数q使，再选一个r使.由（13）知道有一点，使得当有
. (17)
如果，那么定理5.9说明有一点使得
. (18)
先看（14）成立的情形，在（18)中令，便看到
（19）
再看（15）成立的情形.在（18）中让y固定，我们可以选一点，使能够保证及.将（18）的两端乘以，便可得到
（20）
如果在（20）式中令，（15）式说明必有一点使
（21）
总之，（19）与（21）都说明对于任意的q，只要，便有一点，使得足以保证.
同理，若是，选择，便可以找到一点，使得
（22）
结合起着两方面的式子就可以得到（16）.
高阶导数
5.14 定义 如果在一个区间上有导函数，而本来又是可微的，把 的导函数记做,叫做 的二阶导数，照这样继续下去就可以得到
，
这许多函数，其中每一个是前一个的导函数，叫做的n阶导函数.
为了要在x点存在，必须在x点的某个领域里存在（当x是定义的区间的端点时，必须在它有意义的那个单侧领域内存在），而且必须在x点可微.因为必须在x的领域里存在，那么，又必须在x的领域里可微.
定理
5.15定理 设f是上的实函数，n是正整数，在上连续，对每个存在.设是中的不同的两点，我们再规定
， （23)
那么，在之间一定存在一点x，使得
. (24)
当n=1时，这就是中值定理.一般地说，这定理说明能被一个n-1次多项式逼近：如果能知道的上界,(24)还可以使估计误差.
证 设M是由
（25）
决定的数.再令
. （26）
现在需要证明在之间有某个x满足.由（23）式及（26）式知道
（27）
因而如果能证明之间有某个x使，证明就完成了.
因为对于k=0,hellip;，n-1成立，所以
（28）
M的选取方法说明，由于，在之间有某个使(用中值定理），由于，在和之间有某个使，如此推演n次，达到的结论是：在与之间有某个使，在与之间，必然也在之间.
向量值函数的微分法
5.16 定义5.1可以毫无改变地用到定义在上的复值函数上，定理5.2及定理5.3连同它们的证明依然有效.如果:分别是的实部和虚部.即如果
是实的，那么显然有
（29）
并且在点可微当且仅当都在可微.
转到一般向量值函数，就是转到把映入内的映射f时，仍然可以用定义5.1来定义.现在（1）的对于每个t是中的一点，(2)中的极限是对于的范数来取的.换句话说，是中的一点（如果存在的话），它满足
（30）
仍然是在中取值的函数.
如果是的分量，就是定理4.10中所定义的分量，那么
（31)
而且f在点可微当且仅当都在点可微.
定理5.2在本节内照样成立，定理5.3（a)、（b)也成立，只是要把fg换做内积（定义4.3）.
但是对于中值定理以及它的一个推论——法则，情况却发生了变化.下面两个例子说明它们对于向量值函数不再有效
5.17 例 对于实数，定义
（32）
（上式可以作为复指数幂的定义，在第8章还要充分讨论这些函数）这时
， （33）
但是
， （34）
所以对于一切实数，.
于是定理5.10在这种情形下不再成立.
5.18 例 在区间（0，1）内，定义及
（35）
因为对于一切实数t都有，这就不难看到
（36）
其次，
(37)
所以
（38）
因此
（39）
于是
（40）
- 与（40）式说明，法则在这种情形上失效了.还要注意，从（38）来看，在（0,1）上.
然而，中值定理有一个推论对于向量值函数来说仍然适用，如果说用场的话，这个推论差不多和中值定理一样,由定理5.10可以直接退出：
. (41)
5.19 定理 设f是把映入内的连续映射，并且f在（a,b)内可微，那么，必有，使得
.
证 设，且定义
于是是上的实值连续函数，并在（a,b)上可微.所以由中值定理，必有某个使得
另一方面，
.
用不等式得到
因此，.证毕
此外文文献选自于：
walter.Rudin.数学分析原理（英文版）[M].北京：机械工业出版社
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
英语原文共 351 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[286940]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
课题毕业论文、文献综述、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
