一次不定方程的简易解法

郝海生

(北京控制工程研究所教育处，北京100080)

摘要：一次不定方程现在通常的解法是将其化为一次不定方程组来解，当未知数较多时，其解法极其繁复。本文利用矩阵和自由阿贝尔群的理论，对一次不定方程的解的结构进行了讨论，并利用其结论给出了一种简单解法。另外，该解法为利用计算机得到一次不定方程的通解提供方便。

关键词：一次不定方程；自由阿贝尔群；解基

编号：0175.13 文档代码： 文章 ：1002-0462(2002)03-0062-08

sect;1. 介绍

已知一阶不定方程的解可表示为。这里是方程的特解，是其齐次一阶不定方程的广义解。结果，解题的线索是：首先证明齐次一阶不定方程的解集是一个自由阿贝尔群；然后求解基需要满足的条件。由以上结果，我们可以得到齐次一阶不定方程的广义解。

sect;2. 引用定义和定理

定义1 假设整数，且，,是整数，不等价于0和,是整数变量，我们称方程是变量的一阶不定方程，这里,是它的系数。

定义2 我们称有限或无限循环群的直和为自由阿贝尔群。

定义3 自由阿贝尔群的任何基的基数是的不变量；称为的秩。

定义4 假设是由一阶齐次不定方程的解组成的自由阿贝尔群

，我们称集合是的解基，如果

1），即由生成。

对于的任何不同元素，例如, ，如果且等于0，则必须等于0，这里。

定义5 假设,是一阶齐次不定方程的解，矩阵称为的解矩阵。

定义6 设,是一阶齐次不定方程的线性无关解，选择解矩阵 的前列来堆肥行列式，称为,的特征行列式。

定理1 一阶不定方程有解当且仅当。

定理2 假设是一阶不定方程的特解，是方程的广义解，那么是方程的广义解。

定理3 自由阿贝尔群上的下列条件是等价的：

1）有一个非空基。

是无穷循环子群族的（内部）直和。

3）是（同构于）整数的可加组的副本的直接和。

定理4 如果是有限秩的自由阿贝尔群，是的非零子群，则存在的基，一个整数，和正整数,，使得,，G 是一个自由阿贝尔群，基为。

sect;3. 主要结果

命题1 一阶齐次不定方程的所有解组成一个秩为的自由阿贝尔群。

证明 首先构造群，这里，，。很容易验证是的有理解并且它们是线性无关的。由定义2和定理3可知，是基为的自由阿贝尔群。然后证明的解集是的子集。

假设是的解，其中且。

我们知道是的有理解，它的前个分量与的相同。

而在有理场中，对于的解，如果指定了前个分量，则第个分量是互斥的。

因此，。

所以是的子集。我们知道，，所以是的子群。

由定理3可知，是秩为的自由阿贝尔群，其中。

因为,,是的个线性无关解，并且 的秩是，线性无关向量可以用线性无关向量线性表示，我们可以得到，我们知道，所以一定是。综上所述，我们可以证明是秩为的自由阿贝尔群。

命题2 假设是一阶齐次不定方程的特征行列式的绝对值：

1）必须具有最小值，并且可以整除任何。

对应于的解是方程的解基当且仅当是。

证明 因为是非负整数，所以它必须有最小正值。

1.首先证明解基对应的特征行列式的绝对值为。假设是方程的解基，是方程的任意线性无关解。而是的前个分量组成的向量。用同样的方法定义。

从解基的定义来看，一定可以用线性表示，即

。

因此，。从结果来看，正好除以。并且基于的随机性，我们可以得到是特征行列式绝对值的最小值。

2.然后证明对应的解是解的基。因为可以精确地整除任意，基于法则，必有积分解。这里是由 个解的前个分量组成的矩阵，对应于，是由任何解的前个分量组成的向量。

因为是非零整数，所以它对应的向量一定是线性无关的。另外，根据上面的结果，任何解都可以用对应的解线性表示。因此，对应于的解是解的基础。

命题3 设为一阶齐次不定方程，若存在上三角矩阵的解矩阵，则该矩阵为解基矩阵当且仅当其对角线如下：

这里，或者是的最大公约数。

证明 充分条件：

形式定理1，若有解且，则的最小绝对值为。因为有解当且仅当正好除以。如果使满足条件并且它是最小值，则仅当。由于对角线各成员的绝对值最小，矩阵的特征行列式的绝对值必定最小。因此解矩阵为解基矩阵。

必要条件：

设上三角矩阵为解基矩阵。由于解基矩阵的特征行列式的绝对值最小，对角线成员的绝对值必定最小。因此对角线的成员必须显示为命题中的成员。

命题4 设是一阶齐次不定方程的系数，则由 ,,的解组成的矩阵可以通过初等变换变为解基矩阵。

证明 很容易验证是的解并且它们是线性无关的。假设是的解，这里。因为的解基的秩是，必须线性相关，这里是线性无关的。所以可以线性表示为，即,。同理，若设，则。

因此由组成的解矩阵可以变为具有以下类型的矩阵。

sect;4. 方法示意图

假设一阶不定方程和。其广义解可通过以下方法得到。

1.求一阶齐次不定方程的广义解。

1）从方程得到解矩阵。

2）通过初等变换将矩阵改为。

设矩阵对应的行向量为，即为方程的解基。

因此，的广义解为，，。

2.求方程的特解。

设，则是方程的解。同理，是，的解。然后构造矩阵如下：。我们称第一列为特征列。因为，行间相减，必须使特征列存在1。设1在列，则为方程的特解。最后可得到广义解。这里是一阶齐次不定方程的广义解。

为了让读者理解如何寻求解决方案，我举一个例子来说明这个过程。

例 求不定方程的解。

求解 因为，，，，。

从方程，我们可以得到解矩阵。让第一行除以5，让第二行除以2，那么我们可以得到解矩阵。因为对角元素满足如下式： ，我们可以得到方程的广义解。它是。然后我们求具体解。从方程，我们可以得到矩阵如下：

。

因此，。

所以最后我们可以得到方程的广义解。它是。下面附上按照传统方法的程序。

求解 ，，。方程等价于方程组：

1）方程的广义解可得如下：

。

令，则。

代入方程，得到。所以方程的广义解为

。 （1）

2）求方程的广义解，

。

令，然后。

将代入得到。因此，方程的广义解为

。 （2）

将式(1)和式(2)中的抵消，可得

它是方程的广义解。

[参考]

[1]潘承东,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,1992.

[2] HUNGERFORDTW.代数[M].中国:世界出版公司,1998.

A Simple Method of Solving First-order Indefinite Equation

HAO Hai-sheng

(Education Office, Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100080, China)

Abstract：The current method of solving first-order indefinite equation is changing the equation to first-order indefinite equation group to solve. But according this method, if variables are very many, it will be difficult to solve the equation using the current method. In this paper, it provides a simple method by discussing the structure of solution based on the theory of free abelian group. In addition, this method makes it easy to get the generalized solution of the equation using the computer.

Key words：first-order indefinite equation；free abelian group；solution basis

CLC number :O175.13　 Document code： 　　 Article ID:1002-0462(2002)03-0062-08

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