数学符号的知识超越了数字外文翻译资料

数学符号的知识超越了数字

作者：Heather Douglas; Marcia Gail Headley; Stephanie Hadden; Jo Anne LeFevre

国籍：加拿大；加拿大；美国；加拿大

出处：Heather Douglas et al. Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers[J]. Journal of Numerical Cognition, 2020, 6(3) : 322-354.

中文译文：

摘要：数学的书面语中有大量的符号和组合符号来表达数学思想的约定。例如，读取一个因式多项式函数，如f(x) = xsup2;(2x 15)，需要知道括号在一种情况下可以用来表示函数符号，在另一种情况下可以用来表示乘法。数学正字法定义为符号数学的正字法知识。它需要离散数学符号的知识和将这些符号组合成表达式和方程的惯例。阅读以十进制为基础的文本的能力是数学正字法的一个重要方面，该系统由数字和组合数字来表示整数和有理数的惯例组成。然而，在中学和高等教育项目的成功需要更高级的数学正字法。这项研究的目的是确定一个简单而新颖的数学正字法是否能捕捉到成年人数学技能的个体差异。用限时二分符号决策任务测量数学正字法。成人(N = 58)区分传统的和非传统的数学符号组合(例如，xsup2;vs.sup2;x;y | |和| | y)。数学符号决策任务唯一地预测了个体在整数算术、分数/代数程序和应用题解决方面的差异。这些结果表明，符号决策任务是数学发展过程中符号关联的一个有用指标，为理解数学正字法在成人数学技能个体差异中的作用提供了一个工具。

关键词：数学正字法，符号，符号整合，顺序判断，符号层次

数学的交流主要是通过一个书写系统，这个书写系统中有大量的符号和组合符号来表达数学思想的惯例。数学正字法是数学符号和组合这些符号的惯例的知识(Headley, 2016)。在小学早期，孩子们学习数学正字法的基本元素，包括数字(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9)，以10为底的数字组合系统，运算符( 、minus;、times;、divide;)，关系符号(=、gt;、lt;、ge;、le;)(CCSSM;2010年，全国州长协会最佳实践中心和首席州立学校官员理事会)。然而，接受代数教育的青少年会接触到更高级的数学符号和符号的传统组合，如上标(即描述重复乘法的指数)、括号(在一种情况下表示分组，在另一种情况下表示笛卡尔坐标)和竖条(即，表示绝对值)。教育学家和数学家一致认为，学习广泛的数学符号和安排这些符号来表达数学概念的常规模式对数学成就至关重要(Rubenstein amp; Thompson, 2001)。

然而，关于数学正字法的实证研究却很少。在本研究中，我们探讨了成人数学正字法的个体差异是否与他们的其他数学技能有关。

正字法这个术语有两个希腊词根:orthos和graphein。Orthos的意思是“正确，而graphein的意思是“书写。因此，正字法是指关于如何正确使用书写符号的知识(Apel, 2011)。在阅读习得的研究中，正字法通常是在单词或子单词水平上进行研究，目的是理解学习者如何发展正确阅读拼写单词(即brain)的能力，识别语言中的常见模式(即-est或-aight等韵母以及schor -gn等辅音混合)的能力，并检测拼写错误(例如，膜或brn)。许多研究结果表明，正字法在阅读习得中发挥着重要作用，并可能解释阅读技能的差异(Apel et al.， 2019;Berninger等人，2000年;Cunningham等人，2001年;Kirby等人，2008;O Brien等人，2011年;Wolf等人，2000年)。正字法作为一种理论结构，是指学习者对书写系统中存在的常规模式的识别，以及对不存在于书写系统中的非常规模式的检测(Apel, 2011)。例如，能认出their, there, and they are as correct and detect their, ther, and the re as errors的读者，即使不理解单词的意思，也对书写英语有正字法方面的知识。

在目前的研究中(也见Headley, 2016)，我们使用术语数学正字法来描述如何根据使用符号数学的约定读或写数学的知识。数学正字法允许人们识别符号数学中的常规模式和非常规模式。数学正字法不包括理解符号数学的意义或以更高级的方式有效地使用符号的能力(例如，理解一个关系或解决一个方程)。值得注意的是，根据定义，数学正字法的发展依赖于经验，因为如果没有学术数学的书写系统，它就不会出现。

数学正字法不同于日常语言的正字法，因为符号数学书写系统有自己的符号和语法规则(Headley, 2016)。例如，这些文本对说明了符号数学如何要求读者注意字体、相对大小、相对位置和空间方向，并发展不适用于其他文本的正字法:x2和x2;M = n and M∥n;x和times;。用符号数学编写的格式良好的表达式、方程和关系类似于拼写正确的单词和结构良好的句子，从某种意义上说，它们对于通过文本交换意图意义至关重要(Devlin, 2000;Skemp, 1982)。

本文首次提出了数学正字法的理论建构，并评估其解释成人数学表现的个体差异的潜力。我们使用一个新颖的符号决策任务(Headley, 2016)来测量大学生的数学正字法。这项任务要求参与者快速而准确地区分传统的和非传统的数学符号组合(例如，x2 vs. x2;我们使用相关和回归分析来回答这个问题，即符号决策任务的表现是否解释了个体数学表现的差异，而这些差异并没有被整数算术、分数算术、代数和文字问题解决技能的既定预测因素所解释。这项研究的结果对数学写作系统的知识如何与数学技能的个体差异相关的理论有一定的启示。

早期符号与算术

大多数学习者第一次接触数学的书写系统是在他们被介绍到数字的名称和以10为基础的数字组合系统时。数字符号的知识和这些符号之间关联网络的发展与学校数学的成功有关(Hawes et al.， 2019;Marinova等人，2020年;Merkley amp; Ansari, 2016;Purpura等人，2013;Yuan等人，2019)。认知科学家已经确定了数字知识和数学技能之间的几个关键关系。例如，数字的基本知识(例如，哪个更大?4或7;施耐德等人，2017年)始终与算术性能相关。同样，数字的序数知识(例如，2 3 4是递增的吗?;Lyons amp; Beilock, 2011)也与儿童(Lyons, Price, Vaessen, Blomert， amp; Ansari, 2014)和成人(Goffin amp; Ansari, 2016)的算术相关;Morsanyi等人，2017;Vogel等人，2019;Vos等人，2017)。数字关系(基数和序数)的知识是执行和理解算术过程的基础(例如，当回答20minus;8 =时，写出比20小的数字12)。

从发展的角度来看，仍然不清楚基本技能和顺序技能是如何支持高级数学技能的。Vanbinst等人(2016)认为基本知识，特别是数字比较，是理解数字发展的核心——对数学发展的重要性就像语音意识对阅读的重要性一样。然而，其他人认为在数学发展的过程中，序数知识变得比基数知识更重要(例如，Lyons等人，2012,2016)。后一种观点得到了广泛重复的发现的支持，即序数知识在基本知识和算术流利性之间起中介作用，早在二年级(Lyons et al.， 2014;Sasanguie amp; Vos, 2018;Xu amp; LeFevre，出版中)和成人(Lyons amp; Beilock, 2011;Morsanyi等人，2017;Sasanguie等人，2017;Xu等人，2019)。当前的理论表明，随着高级数学技能的出现，基数、序数和算术技能之间的关系在符号到符号关联的网络中完全整合(Xu et al.， 2019;Xu amp; LeFevre出版)。然而，虽然数字及其顺序很重要，因为它们提供了以10为基数的系统的结构，但它们是数学所必需的符号和约定的子集。

高等数学与数学正字法

虽然关于儿童学习算术过程中各种符号知识的发展的研究很多，但是关于数学正字法在高等数学中的作用的研究却很少。层次符号集成(HSI)模型(Xu et al.， 2019)是一个基于经验的理论框架，描述了符号数字知识(即基数、序数和算术)和更高级的数学技能之间的关联的作用。一般来说，人类发展被理解为一个不断变化的过程，在这个过程中，概念被区分、重组并整合到概念单元中(例如，Baltes等人，2006年;Case等人，1996;Siegler amp; Chen, 2008;维尔纳,1957)。在数学教育中，利用数学符号获取技能通常被定义为一个不断回顾、阐述和抽象的过程(例如，Hiebert, 1988;Nemirovsky amp; Monk, 2000)。HSI模型认为，随着数学技能的提高，不那么高级的数字知识(例如，理解数字的基数和序数性)将与更高级的符号知识(例如，理解加法和乘法符号如何描述运算)整合在一起。恒生指数模型的含义是,作为数学专业发展,学习者建立一个互联的网络符号协会以这样一种方式,早期象征知识变得不那么预测增加的数学技能是合并到更高级的象征更复杂的数学任务所需知识。

高等数学(例如，代数、几何和微积分)的研究涉及到一系列广泛的符号和符号组合的惯例。数字和算术符号继续扮演着重要的角色。然而，随着变量的引入，符号组合的约定变得更加复杂，空间位置、大小和相对位置等因素变得重要。例如，数字的位置和大小给类似的数学表达式(如3x和x3)带来了不同的含义(O Halloran, 2005)。前一个表达式需要理解，当描述一个变量的乘法运算时，times;运算符可以省略。后面的表达式通常用另一种乘法表示来解释:x3= xbull;xbull;x。在高等数学课本中，以前学过的一些符号是模糊的。例如，xminus;y可能被解读为“x - y，minus;1可能被解读为“- 1，而minus;x可能被解读为“x的倒数。重要的是，许多符号和组合这些符号的惯例在算术上没有相似性。例如，0和!描述新的运算，isin;cup;描述新的关系，x和tan(theta;)描述函数，是一个全新的概念。考虑到符号数学在学术环境中扮演的重要角色，确定数学正字法的个体差异是否存在，对于发现其支持或限制数学成就的潜力至关重要。

根据Xu et al.(2019)的HSI模型，我们预测，越来越复杂的数学正字法与代数和更高级数学主题的数学专长的发展有关。例如，考虑以下常见提示:展开多项式:(xminus;3 2=。无论学习者如何解决问题，其要求的数学符号知识超出了完成算术任务所需的知识。至少，学习者必须理解上标可以在插入表达式之外或在变量旁边使用的惯例。在这种情况下，数学正字法在理论上是必要的(虽然不是充分的)，学习者可以“不断地评估合理性(CCSSM;全国州长协会最佳实践中心和首席州立学校官员理事会，2010年，第8页)的结果，一个典型的期望在教育环境中。换句话说，学习者需要数学正字法来识别书写良好的数学文本，并将其与结构不良的文本区分开来。没有数学正字法，学习者就无法发现非常规文本中的错误。例如，如果一个学习者不知道指数出现在基线之上，在基值/变量的右边，他可能会混淆x2(非传统组合)和2x或x2(传统组合)。T考虑到扫盲教育的研究(Apel, 2011;(Apel et al.， 2006)，我们推论，数学正字法的发展是随着学生通过阅读、写作和口语参与数学文本。

数学正字法相关研究现状

目前，对数学正字法的研究仅限于对单一符号的研究和/或对特定数学技能的符号知识的探索。例如，在小学和中学的学习者中，有充分的证据表明理解等号有困难(Cobb, 1987;《骗子与阿里巴利》，2014年;Rittle-Johnson amp; Alibali, 1999)。许多孩子将等号误解为意味着“把答案放在这里的运算符符号(Knuth et al.， 2006;Powell amp; Fuchs, 2010)。虽然这种解释对完成加法题(如1 2 =)是有用的，但孩子们可能会判断如3 5 = 2 6这样的方程是错误的或无意义的(Li et al.， 2008;Steinberg等人，1991)，随后努力解决缺少数字的方程(Powell amp; Fuchs, 2010;Sherman amp; Bisanz, 2009)。理解等号的问题可以持续到中学阶段(Chirume, 2012)。

同样，使用负号/负号的困难也会影响技能发展(Jiang, Cooper， amp; Alibali, 2014)。Vlassis(2008)发现，当程序涉及多个负/负符号时(例如，5minus;minus;1 = 6)，中学生在计算整数时会遇到困难。当变量前面有负/负符号时，学生在求解代数方程时也会遇到困难(Herscovics amp; Linchevski, 1994)。例如，一个解12minus;x = 7的学生知道如何从方程两边减去相同的量;然而，他们不知道减号/负号可以放在变量前面，因此写成x = 7minus;12，从而得出了一个无效的解(Vlassis, 2008)。值得注意的是，因为这些研究中的学生展示了

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附：外文原文：
Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers

Abstract

The written language of mathematics is dense with symbols and with conventions for combining those symbols to express mathematical ideas. For example, reading a factored polynomial function such as f(x) = xsup2;(2x 15) requires the knowledge that parenthesis can be used to signify function notation in one context and multiplication in another. Mathematical orthography is defined as orthographic knowledge of symbolic mathematics. It entails both knowledge of discrete mathematical symbols and the conventions for combining those symbols into expressions and equations. The ability to read text written in the base-ten system, comprised of digits and conventions for combining digits to express whole and rational quantities, is an important aspect of mathematical orthography. However, success in secondary and postsecondary programs requires more advanced mathematical orthography. The goal of this research was to determine if a simple and novel measure of mathematical orthography captures individual differences in adultsrsquo; mathematical skills. Mathematical orthography was measured with a timed dichotomous symbol decision task. Adults (N = 58) discriminated between conventional and non-conventional combinations of mathematical symbols (e.g., xsup2; vs. sup2;x; |y| vs. ||y). The mathematical symbol decision task uniquely predicted individual differences in whole-number arithmetic, fraction/algebra procedures, and word problem solving. These findings suggest that the symbol decision task is a useful index of symbol associations in mathematical development and, thus, provides a tool for understanding the role of mathematical orthography in individual differences in adultsrsquo; mathematical skills.

Keywords: mathematical orthography, symbol, symbol integration, order judgment, symbol hierarchy

Mathematics is communicated primarily through a writing system that is dense with symbols and conventions for combining symbols to express mathematical ideas. Mathematical orthography is the knowledge of both mathematical symbols and the conventions for combining those symbols (Headley, 2016). In early elementary school, children learn the basic elements of mathematical orthography, including digits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9), the base-ten system for combining digits, operators ( , minus;, times;, divide;), and relational symbols (=, gt;, lt;, ge;, le;) (CCSSM; National Governors Association Center for Best Practices amp; Council of Chief State School Officers, 2010). However, adolescents receiving algebra instruction are exposed to more advanced mathematical symbols and conventional combinations of symbols, such as superscripts (i.e., as exponents describing repeated multiplication), parentheses (which may indicate grouping in one context and a Cartesian coordinate in another), and vertical bars (i.e., indicating absolute value). Educators and mathematicians agree that learning a wide range of mathematical symbols and the conventional patterns for arranging those symbols to express mathematical concepts is critical to achievement in mathematics (Rubenstein amp; Thompson, 2001).

However, there are few empirical studies of mathematical orthography. In the present study, we addressed the question of whether individual differences in adultsrsquo; mathematical orthography is uniquely related to their other mathematical skills.

The term orthography has two Greek roots: orthos and graphein. Orthos means correct and graphein means to write. Orthography, therefore, refers to stored knowledge about how to use written symbols correctly (Apel, 2011). In studies of reading acquisition, orthography is commonly investigated at the word or sub-word level with the goal of understanding how learners develop the ability to read correctly spelled words (i.e., brain), recognize common patterns in the language (i.e., rimes like -est or -aight and consonant blends like schor -gn), and detect spelling errors (i.e., brane or brn). The results of many studies suggest that orthography plays an important role in reading acquisition and may explain differences in reading skills (Apel et al., 2019; Berninger et al., 2000; Cunningham et al., 2001; Kirby et al., 2008; Orsquo;Brien et al., 2011; Wolf et al., 2000). As a theoretical construct, orthography refers to learnersrsquo; recognition of conventional patterns that can exist and detection of non-conventional patterns that do not exist within a writing system (Apel, 2011). For example, readers who recognize their, there, and theyrsquo;re as correctly written and detect thier, ther, and thersquo;re as errors, have orthographic knowledge about written English even if they do not understand the wordsrsquo; meanings.

In the present research (see also Headley, 2016), we use the term mathematical orthography to describe knowledge about how to read or write mathematics according to the conventions for using symbolic mathematics. Mathematical orthography allows people to recognize conventional patterns and detect non-conventional patterns in symbolic mathematics. Mathematical orthography does not encompass the ability to understand the meaning of symbolic mathematics or to use the symbols effectively in more advanced ways (e.g., to comprehend a relationship or solve an equation). Notably, the development of mathematical orthography, by definition, depends on experience because it cannot emerge in the absence of exposure to the writing system for academic mathematics.

Mathematical orthography is distinct from orthography for everyday languages because the symbolic mathematics writing system has its own symbols and syntax rules (Headley, 2016). For example, these text pairs illustrate how symbolic mathematics can require readers to attend to font, relative size, relative location, and spatial orientation and develop orthography that does not apply to other texts: x2 and x2; m = n and m ∥ n; x and times;. Well-formed expressions,

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