数学核心素养的思考
作者：杨超 莫汉唐 韩振来 孙淑容
国籍：中国
出处：Proceedings of 3rd International Seminar on Education Innovation and Economic Management(SEIEM 2018)(Advances in Social Science, Education and Humanities Research,VOL.286)
第三届教育创新与经济管理国际研讨会（SEIEM 2018）
中文译文：
摘要：六大数学核心素养体现。我们得出了两个结论。给出了数学核心素
养的一个新公式。引入了核心素养的新定义。对两种数学核心素养公式的关系进行了分析。最后解释了关于新数学核心素养定义的两个问题。
关键词：数学核心素养、数学水平、数学问题解决、反思
一、简介
（一）我国数学核心素养的研究现状
如今，核心素养已成为我国基础教育领域的新热点。 它成为深化基础教育课程改革和落
实素质教育目标的关键因素。基础教育领域“核心素养”的内涵可以从三个层面来把握：底层“双基导向”，以基础知识和基本技能为核心； 中层“问题解决导向”，以解决问题过程中获得的基本方法为核心； 以及顶层的“科学（广义）思维”。 “方向”是指在系统学习中，通过经验、理解和内化的过程，逐渐形成的相对稳定的思维、解决问题的思维方法和价值观。从本质上初步得到认识世界和改造世界的世界观和方法论。
2014年，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》。它呼吁“研究制定学生发展的核心素养体系和学术质量标准”。它要求突出学科核心素养，将核心素养定义为“主要是指学生应具备并能够适应终身发展和社会发展的必要品格和关键能力”。孔凡哲教授、马云鹏教授、王尚志教授、史宁中教授都对数学核心素养提出了自己的看法。其中，王尚志教授和史宁中教授的认可度最高。
王尚志教授和史宁中教授将数学核心素养分为六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。以此为基础，教育部在《高中数学课程标准（2017年版）》中对数学核心素养进行了分类。针对这种分类，仍有部分专家认为其存在有待改进[1]。小雅教授如何对数学六大核心素养进行一一反思，并给出修正后的数学核心素养框架[2-5]。
（二）数学核心素养国际研究现状
国际上关于核心素养的研究远早于国内研究。在英国，经济学家Clausser于1956年创造了数学素养一词。
今天，数学素养的内涵可分为三个层次：流畅运用数学知识、数学推理、应用数学知识解决复杂问题。
澳大利亚和芬兰在多种情况下都注重应用数学，因此跨学科课程成为培养学生数学素养的一种方式；丹麦和美国突出了数学能力的融合。在2012年和2015年的PISA测试中，数学素养被定义为“将情境问题转化为数学问题、运用数学和解释数学的能力”[6]。
二、反思
现在我们讨论的是“数学核心素养”而不是“数学素养”，所以我们最应该关注的就是“核心”这个词。 “数学核心素养”要在体现数学学科素养的基础上做足细化。这样，数学核心素养的定义就应该是一个不断提炼完善的过程。
2011年，《数学课程标准（修订稿）》明确提出了十个数学概念（郑育新教授更愿意称其为数学的核心素质）。它们是感知、符号意识、操作能力、模型思想、空间思想、几何直觉、推理能力、数据分析思想、应用意识和创新意识。 2017年《高中数学课程标准（2017版）》将数学的核心素质浓缩为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
对比2011年的数学十大概念和2017年的数学六大核心素质，不难发现数学的核心素质摒弃了数感、创新感和应用感，让人更容易接受。
结论：六大数学核心素养仍需细化，才能体现“核心”二字。
数学核心素养的国际定义强调数学能力的融合和数学在各种场景中的应用。这两点在我国的数学核心素养中并没有得到明确的体现。我国数学的六大核心素质体现了平行关系，是否应该提高？首先，《普通高中数学课程标准（2017年版）》的课程目标中提到了“四种能力”，是指从数学的角度发现问题、提出问题、分析解决问题的能力。高中课程的目标是发现和解决数学中的问题，这需要综合各种能力。其次，数学来源于现实。我们要注意数学与现实世界的关系以及数学在各种情况下的应用。只有这样，才能让数学有生命力，让学生不再问“学数学有什么用？”
结论：数学的核心素养应强调能力的整合以及数学与现实世界的关系。
三、数学核心素养的新方法
总结起来，要注意以下三点：第一，要够细化。其次，要强调核心素养的整合。第三，我们应该将数学与现实世界联系起来。其次，教育部将核心素养定义为：主要是指学生为适应终身发展和社会发展需要而应具备的基本素质和关键能力。因此，将核心数学素养分为两个方面比较合适：
层次数学化和数学解题，在分类上比六大核心数学素养更精细。水平数学和数学解题更符合PISA对数学素养的定义，具有更国际化的视野。同时，水平数学和数学解题可以更好地解决问题，使学习者适应终身发展和社会发展。
（一）数学水平
数学化是理清现实的过程，包括数学家的一切组织活动，其中现实是指现实世界与数学世界的结合[7,8]。
弗洛伊登塔尔将数学化分为两种：一种是横向数学化，即发现问题中的数学成分并进行相应的处理。 另一种是垂直数学化，即在数学范围内将符合规范的数学材料形式化。 一个完整的数学思维活动必须包括横向和纵向两个阶段。 层次数学化的过程是将“现实世界”与“数学世界”联系起来的过程，强调数学与现实世界的联系。
高中数学课程的目标是从数学的角度发现和提出解决问题、分析和解决问题的能力。 经过水平数学化后，真正的问题变成了数学问题，所以我们需要解决的问题就是数学解题，这也是我把数学的核心素质分为水平数学化和数学解题的原因之一。
不言而喻，数学问题的解决在数学教学中占有重要地位。 罗增儒教授认为：
1.解题是数学学习的核心内容；
2.解题是掌握数学、学会“数学思考”的基本途径；
3.问题解决是评价学习的重要方式。 数学家波利亚认为，掌握数学意味着善于解决问题。
在高中数学的教学过程中，我们大部分时间都花在处理数学问题上。 因此，把数学解题
作为数学的核心素质之一是恰当的。
（二）数学解题的内涵
数学家波利亚将数学解题分为四个部分：解题、制定计划、实施计划和复习。回顾部分是我们最不能忽视的。它包括四个问题。
1.你能验证这个结论吗？
2.你能用其他方式推导出这个结果吗？你能一下子看到吗？
你能把这个结果应用到其他问题上吗？复习是数学问题解决和机械问题解决之间的主要区别。
数学问题解决能力不仅限于数学问题。在如何解决问题中，波利亚提到“如何解决问题表”中的技巧不限于任何主题。主题可以是代数或几何、数学或非数学、理论或实践，所有这些都没有区别。这些技能可以帮助我们解决问题。
在解决数学问题的过程中，需要运用逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等能力。因此，解决数学问题的核心素养并不是对数学原有核心素养的完全否定，而是在此基础上对数学原有核心素养的全面否定。整合，强调各种能力之间的联系，强调解决问题的目的。
回顾解决问题的全过程。首先，我们将现实世界的问题转化为数学问题，这是一个水平数学问题。其次，我们已经解决了这个数学问题，也就是解决数学问题的过程。
（三）数学解题的主要思想和方法
数学中的思维方式有很多种。 顾凌元教授在其著作《数学思想与方法》中主要提到抽象与概括、猜想与反驳、演绎与变换、计算与算法、应用与建模、分类、数与数的组合、专业化等。 在高考中，我们主要学习函数与方程的思想，数与数的结合思想，分类讨论的思想，变换变换的思想[9]。 极限思想在高等数学和数学分析和高等数学中必不可少。
四、两种定义之间的关系
水平数学化与数学解题是一个序列关系，而六大核心数学素养是一个并列关系。在数学化和数学问题解决的过程中存在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直觉想象、数学运算、数据分析。数学抽象是数学化的一部分。数据分析体现在横向数学化和数学问题解决上。逻辑推理、数学建模、视觉想象和数学运算都在解决数学问题的过程中。
因此，数学核心素养的两个定义之间存在联系。
王尚志教授和史宁中教授提出了数学核心素养的六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。本文提出的数学核心素质是横向数学化和数学问题解决。
两者的主要区别如下：第一，数学抽象是一种横向数学化，包括从事物的具体背景中抽象出一般规则和结构，但缺乏另一种更基本的数学模型，包括抽象数量、图形和概念。来自现实世界。其次，数学抽象包括从数量与数量、图形与图形的关系中抽象出数学概念和概念。这就是数学内化的过程。这个过程属于纵向数学化，不属于横向数学化，但会体现在数学问题的求解中。第三，数学解题的重点是解题，解题的过程包括各种数学思维方法。让我们回顾一下核心素养的定义：适应终身发展和社会发展的本质特征和关键能力。数学的六大核心素质强调解决数学问题的关键能力、本质特征和关键能力以及其中包含的数学思想。相比之下，数学解题及其思路更适合解决问题，处理数学与其他学科的交叉，使学习者适应终身发展和社会发展。
五、数学核心素养的两个问题
社会发展对人才培养提出了新要求。培养具有创新意识和批判性思维、跨学科视角解决问题、团队合作等核心素质的人才，已成为各国教育改革的核心重点。因此，以核心素养为导向的世界基础教育课程改革已成为大势所趋。我国基础教育和高等教育学生发展核心素质研究认为，学习者应具备在特定情况下综合运用知识、技能和态度解决问题的关键能力和本质性格。值得注意的是，大多数教育变革不是以结果为导向的事件，而是需要经历一个艰难的转型过程。在教育发展不平衡的形势下，如何面对课堂教学实践中存在的实际问题，探索教学改革的发展方向和实践路径，积极推进核心素养培养成为中小学课堂教学改革的重点问题[10]。
关于数学核心素养的两个问题
问题 1：由于一个完整的数学活动必然包括两个过程：横向和纵向数学化，为什么不将核心数学素养直接定义为横向和纵向数学素养？
高中生有一定的数学知识基础，需要认识到数学来源于现实，解决实际问题。因此，将数学水平素养作为数学的核心素养是合理的。同时要注意垂直数学化包含的能力太多，并不是每个学生都应该成为数学家。数学化是数学家的整个组织活动，但并不是每个学习者都必须成为数学家，因此将垂直数学化作为数学的核心素质之一是不合适的。
问题2：数学核心素养的新表述有哪些优势？
新数学核心素养有四大优势。首先，新配方是“核心”。第二，新的提法强调能力的整合。第三，新的表述加强了与现实世界的联系。第四，新的表述方式更加清晰，数学水平与数学解题是一个序列关系，更符合人们解题的习惯。
六、结论
本篇论文阐述了核心素养新表述的内涵，分析了数学核心素养，解释了数学核心素养新表述的两个问题。
确认日期
本文是济南大学研究生教育创新项目““双一流”建设背景下山东省专业学位研究生教育质量评价标准与体系研究的阶段性成果（编号JDY1601）和“ 教育硕士研究生教育质量保障体系建设与实施研究”（编号JDY1707）。
参考文献
[1]华致远，“数学核心素养的内涵与构成”，教育研究与评论（中等教育），2016（05），第41-44页。
[2] 唐墨涵，孙树容，韩振来.数学核心能力的内涵与培养，2017年第二届教育与教育研究与环境研究国际会议（EERES 2017），pp.180-183.
[3]李毅、钟百昌，“谈“核心素养”，教育研究，2015，9，17-23页。
[4]莫汉唐，孙树荣，韩振来．核心数学素养在“空间直角坐标系”教学中的体现。中学课程资源，2018，（6），第41-42页。
[5]何小亚，“数学核心素养指数的思考”，中学数学研究（华南师范大学版），2016（13），第1-4页。
[6]张秋平，“西方国家数学教育中的数学素养：比较与展望”，《全球教育展望
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数学核心素养的思考
作者：杨超 莫汉唐 韩振来 孙淑容
国籍：中国
出处：Proceedings of 3rd International Seminar on Education Innovation and Economic Management(SEIEM 2018)(Advances in Social Science, Education and Humanities Research,VOL.286)
第三届教育创新与经济管理国际研讨会（SEIEM 2018）
中文译文：
摘要：六大数学核心素养体现。我们得出了两个结论。给出了数学核心素
养的一个新公式。引入了核心素养的新定义。对两种数学核心素养公式的关系进行了分析。最后解释了关于新数学核心素养定义的两个问题。
关键词：数学核心素养、数学水平、数学问题解决、反思
一、简介
（一）我国数学核心素养的研究现状
如今，核心素养已成为我国基础教育领域的新热点。 它成为深化基础教育课程改革和落
实素质教育目标的关键因素。基础教育领域“核心素养”的内涵可以从三个层面来把握：底层“双基导向”，以基础知识和基本技能为核心； 中层“问题解决导向”，以解决问题过程中获得的基本方法为核心； 以及顶层的“科学（广义）思维”。 “方向”是指在系统学习中，通过经验、理解和内化的过程，逐渐形成的相对稳定的思维、解决问题的思维方法和价值观。从本质上初步得到认识世界和改造世界的世界观和方法论。
2014年，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》。它呼吁“研究制定学生发展的核心素养体系和学术质量标准”。它要求突出学科核心素养，将核心素养定义为“主要是指学生应具备并能够适应终身发展和社会发展的必要品格和关键能力”。孔凡哲教授、马云鹏教授、王尚志教授、史宁中教授都对数学核心素养提出了自己的看法。其中，王尚志教授和史宁中教授的认可度最高。
王尚志教授和史宁中教授将数学核心素养分为六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。以此为基础，教育部在《高中数学课程标准（2017年版）》中对数学核心素养进行了分类。针对这种分类，仍有部分专家认为其存在有待改进[1]。小雅教授如何对数学六大核心素养进行一一反思，并给出修正后的数学核心素养框架[2-5]。
（二）数学核心素养国际研究现状
国际上关于核心素养的研究远早于国内研究。在英国，经济学家Clausser于1956年创造了数学素养一词。
今天，数学素养的内涵可分为三个层次：流畅运用数学知识、数学推理、应用数学知识解决复杂问题。
澳大利亚和芬兰在多种情况下都注重应用数学，因此跨学科课程成为培养学生数学素养的一种方式；丹麦和美国突出了数学能力的融合。在2012年和2015年的PISA测试中，数学素养被定义为“将情境问题转化为数学问题、运用数学和解释数学的能力”[6]。
二、反思
现在我们讨论的是“数学核心素养”而不是“数学素养”，所以我们最应该关注的就是“核心”这个词。 “数学核心素养”要在体现数学学科素养的基础上做足细化。这样，数学核心素养的定义就应该是一个不断提炼完善的过程。
2011年，《数学课程标准（修订稿）》明确提出了十个数学概念（郑育新教授更愿意称其为数学的核心素质）。它们是感知、符号意识、操作能力、模型思想、空间思想、几何直觉、推理能力、数据分析思想、应用意识和创新意识。 2017年《高中数学课程标准（2017版）》将数学的核心素质浓缩为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
对比2011年的数学十大概念和2017年的数学六大核心素质，不难发现数学的核心素质摒弃了数感、创新感和应用感，让人更容易接受。
结论：六大数学核心素养仍需细化，才能体现“核心”二字。
数学核心素养的国际定义强调数学能力的融合和数学在各种场景中的应用。这两点在我国的数学核心素养中并没有得到明确的体现。我国数学的六大核心素质体现了平行关系，是否应该提高？首先，《普通高中数学课程标准（2017年版）》的课程目标中提到了“四种能力”，是指从数学的角度发现问题、提出问题、分析解决问题的能力。高中课程的目标是发现和解决数学中的问题，这需要综合各种能力。其次，数学来源于现实。我们要注意数学与现实世界的关系以及数学在各种情况下的应用。只有这样，才能让数学有生命力，让学生不再问“学数学有什么用？”
结论：数学的核心素养应强调能力的整合以及数学与现实世界的关系。
三、数学核心素养的新方法
总结起来，要注意以下三点：第一，要够细化。其次，要强调核心素养的整合。第三，我们应该将数学与现实世界联系起来。其次，教育部将核心素养定义为：主要是指学生为适应终身发展和社会发展需要而应具备的基本素质和关键能力。因此，将核心数学素养分为两个方面比较合适：
层次数学化和数学解题，在分类上比六大核心数学素养更精细。水平数学和数学解题更符合PISA对数学素养的定义，具有更国际化的视野。同时，水平数学和数学解题可以更好地解决问题，使学习者适应终身发展和社会发展。
（一）数学水平
数学化是理清现实的过程，包括数学家的一切组织活动，其中现实是指现实世界与数学世界的结合[7,8]。
弗洛伊登塔尔将数学化分为两种：一种是横向数学化，即发现问题中的数学成分并进行相应的处理。 另一种是垂直数学化，即在数学范围内将符合规范的数学材料形式化。 一个完整的数学思维活动必须包括横向和纵向两个阶段。 层次数学化的过程是将“现实世界”与“数学世界”联系起来的过程，强调数学与现实世界的联系。
高中数学课程的目标是从数学的角度发现和提出解决问题、分析和解决问题的能力。 经过水平数学化后，真正的问题变成了数学问题，所以我们需要解决的问题就是数学解题，这也是我把数学的核心素质分为水平数学化和数学解题的原因之一。
不言而喻，数学问题的解决在数学教学中占有重要地位。 罗增儒教授认为：
1.解题是数学学习的核心内容；
2.解题是掌握数学、学会“数学思考”的基本途径；
3.问题解决是评价学习的重要方式。 数学家波利亚认为，掌握数学意味着善于解决问题。
在高中数学的教学过程中，我们大部分时间都花在处理数学问题上。 因此，把数学解题
作为数学的核心素质之一是恰当的。
（二）数学解题的内涵
数学家波利亚将数学解题分为四个部分：解题、制定计划、实施计划和复习。回顾部分是我们最不能忽视的。它包括四个问题。
1.你能验证这个结论吗？
2.你能用其他方式推导出这个结果吗？你能一下子看到吗？
你能把这个结果应用到其他问题上吗？复习是数学问题解决和机械问题解决之间的主要区别。
数学问题解决能力不仅限于数学问题。在如何解决问题中，波利亚提到“如何解决问题表”中的技巧不限于任何主题。主题可以是代数或几何、数学或非数学、理论或实践，所有这些都没有区别。这些技能可以帮助我们解决问题。
在解决数学问题的过程中，需要运用逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等能力。因此，解决数学问题的核心素养并不是对数学原有核心素养的完全否定，而是在此基础上对数学原有核心素养的全面否定。整合，强调各种能力之间的联系，强调解决问题的目的。
回顾解决问题的全过程。首先，我们将现实世界的问题转化为数学问题，这是一个水平数学问题。其次，我们已经解决了这个数学问题，也就是解决数学问题的过程。
（三）数学解题的主要思想和方法
数学中的思维方式有很多种。 顾凌元教授在其著作《数学思想与方法》中主要提到抽象与概括、猜想与反驳、演绎与变换、计算与算法、应用与建模、分类、数与数的组合、专业化等。 在高考中，我们主要学习函数与方程的思想，数与数的结合思想，分类讨论的思想，变换变换的思想[9]。 极限思想在高等数学和数学分析和高等数学中必不可少。
四、两种定义之间的关系
水平数学化与数学解题是一个序列关系，而六大核心数学素养是一个并列关系。在数学化和数学问题解决的过程中存在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直觉想象、数学运算、数据分析。数学抽象是数学化的一部分。数据分析体现在横向数学化和数学问题解决上。逻辑推理、数学建模、视觉想象和数学运算都在解决数学问题的过程中。
因此，数学核心素养的两个定义之间存在联系。
王尚志教授和史宁中教授提出了数学核心素养的六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。本文提出的数学核心素质是横向数学化和数学问题解决。
两者的主要区别如下：第一，数学抽象是一种横向数学化，包括从事物的具体背景中抽象出一般规则和结构，但缺乏另一种更基本的数学模型，包括抽象数量、图形和概念。来自现实世界。其次，数学抽象包括从数量与数量、图形与图形的关系中抽象出数学概念和概念。这就是数学内化的过程。这个过程属于纵向数学化，不属于横向数学化，但会体现在数学问题的求解中。第三，数学解题的重点是解题，解题的过程包括各种数学思维方法。让我们回顾一下核心素养的定义：适应终身发展和社会发展的本质特征和关键能力。数学的六大核心素质强调解决数学问题的关键能力、本质特征和关键能力以及其中包含的数学思想。相比之下，数学解题及其思路更适合解决问题，处理数学与其他学科的交叉，使学习者适应终身发展和社会发展。
五、数学核心素养的两个问题
社会发展对人才培养提出了新要求。培养具有创新意识和批判性思维、跨学科视角解决问题、团队合作等核心素质的人才，已成为各国教育改革的核心重点。因此，以核心素养为导向的世界基础教育课程改革已成为大势所趋。我国基础教育和高等教育学生发展核心素质研究认为，学习者应具备在特定情况下综合运用知识、技能和态度解决问题的关键能力和本质性格。值得注意的是，大多数教育变革不是以结果为导向的事件，而是需要经历一个艰难的转型过程。在教育发展不平衡的形势下，如何面对课堂教学实践中存在的实际问题，探索教学改革的发展方向和实践路径，积极推进核心素养培养成为中小学课堂教学改革的重点问题[10]。
关于数学核心素养的两个问题
问题 1：由于一个完整的数学活动必然包括两个过程：横向和纵向数学化，为什么不将核心数学素养直接定义为横向和纵向数学素养？
高中生有一定的数学知识基础，需要认识到数学来源于现实，解决实际问题。因此，将数学水平素养作为数学的核心素养是合理的。同时要注意垂直数学化包含的能力太多，并不是每个学生都应该成为数学家。数学化是数学家的整个组织活动，但并不是每个学习者都必须成为数学家，因此将垂直数学化作为数学的核心素质之一是不合适的。
问题2：数学核心素养的新表述有哪些优势？
新数学核心素养有四大优势。首先，新配方是“核心”。第二，新的提法强调能力的整合。第三，新的表述加强了与现实世界的联系。第四，新的表述方式更加清晰，数学水平与数学解题是一个序列关系，更符合人们解题的习惯。
六、结论
本篇论文阐述了核心素养新表述的内涵，分析了数学核心素养，解释了数学核心素养新表述的两个问题。
确认日期
本文是济南大学研究生教育创新项目““双一流”建设背景下山东省专业学位研究生教育质量评价标准与体系研究的阶段性成果（编号JDY1601）和“ 教育硕士研究生教育质量保障体系建设与实施研究”（编号JDY1707）。
参考文献
[1]华致远，“数学核心素养的内涵与构成”，教育研究与评论（中等教育），2016（05），第41-44页。
[2] 唐墨涵，孙树容，韩振来.数学核心能力的内涵与培养，2017年第二届教育与教育研究与环境研究国际会议（EERES 2017），pp.180-183.
[3]李毅、钟百昌，“谈“核心素养”，教育研究，2015，9，17-23页。
[4]莫汉唐，孙树荣，韩振来．核心数学素养在“空间直角坐标系”教学中的体现。中学课程资源，2018，（6），第41-42页。
[5]何小亚，“数学核心素养指数的思考”，中学数学研究（华南师范大学版），2016（13），第1-4页。
[6]张秋平，“西方国家数学教育中的数学素养：比较与展望”，《全球教育展望
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