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用于分解信号的单声道组件
钱涛
摘要
本文进一步研究了特征函数问题：，使得，且，其中是希尔伯特变换的。在时频分析中求得的满足上述条件的函数称为单分量函数。许多作者一直在研究当时关于Mobius变换和Blaschke乘积的系统性研究。在本文中，作为一个关键步骤，我们描述了一般情况下的特征函数问题的基本类解。这类解决方案与一类复杂变量的特殊星形函数相同，称为圆形原子。它们是圆形单分量的构建块。我们首先研究单位圆的情况，然后在实数轴上推导出对应的结果。还研究了双单分量的类似情况。
关键词：解析信号；瞬时频率；希尔伯特变换；Mobius变换；单分量函数；经验模式分解； HHT（希尔伯特 - 黄变换）；星形函数。
引言
在信号分析中，人们一直试图理解对于一个给定的信号，它的瞬时振幅，瞬时相位和瞬时频率是多少。 由表示的信号代表实值局部（Lebesgue）可积函数。 找到瞬时对象的常用方法如下。 首先，假设存在，介绍相关的分析信号，其中是的希尔伯特变换。 希尔伯特变换由主值奇异积分正式定义为
它具有傅立叶乘数形式
其中傅立叶变换由下式定义
并且是gt;0时值为1，lt;0时值为-1的符号函数。
可以写成的形式，其中任意，因此，
(1)
但注意，满足下列关系
(2)
考虑到的关系，其中代表一个特殊运算符，(2)相当于
(3)
根据唯一确定的(1)，分别称为瞬时振幅，为瞬时相位，且或。 如果条件满足，则把函数定义为合格的瞬时频率。 不幸的是，或的要求几乎是不满足的，并且相关分析信号的瞬时振幅，相位和频率的定义可能是错误的。
在参考文献[1]中，我们探讨了Hilbert变换的特征函数与Hardy 空间中的函数之间的联系。 由表示或，前者表示开单位圆盘，后者表示上半复平面。 在这种表示法中，代表或，其中是实轴上的标准希尔伯特变换，而是圆上的循环希尔伯特变换。 循环希尔伯特变换是由下述公式定义的
基于的傅里叶展开的傅立叶乘数形式是：
参考文献[1]中定理3.2和定理4.3证明了以下结果。
定理1.1：函数
，
且，在空间中当且仅的模是常数时是函数的边界值。
注意当且时，希尔伯特变换采用分布式。 该定理将在以下主要结果的证明中回顾。
参考文献[1-4]对单模情况进行了系统研究。 在本文中，我们将研究扩展到一般的非单模块情况。 我们发现，在一个复杂变量中，完善的星形函数理论最符合我们的需要。 星形函数的边界值提供易于访问的循环单分量。 我们现在介绍相关的符号和术语。
设是循环或循环希尔伯特变换的特征函数，那么。由于，我们得到，其中是复数虚数单位。 在下文某个条件，比如时几乎处处成立，被简称为。
定义1.1：如果，则函数被称为-特征函数; 如果，则被称为双-特征函数。 如果形式为其满足和，则-特征函数被称为-单分量。如果形式为其满足和，则双-特征函数被称为双-单分量。
在下文，我们将-特征函数，双-特征函数，-单组分和双-单组分分别简称为-特征函数，双-特征函数，单分量和双单分量; 并且，我们将-特征函数，双特征函数，-单分量和双-单分量称为循环-特征函数，双循环-特征函数，循环单分量和双循环单分量。
通常，我们研究而不是，并且形式为，我们有=。 在这种情况下，当且仅当 时才有。 相应地将实部称为实-特征函数或实单分量。如果不存在混淆，则我们不考虑“实值”并仍将其称为-特征函数，或实单分量。相同的约定对循环的情况有效。
如果一个信号不是单分量或双单分量，则它被称为多分量或简称为多分量。通常情况下信号都是多分量。 在[5]中，Huang提出了一种称为经验模式分解的实用算法，将信号分解为
(4)
其中和的每一项应该是单分量或者双单分量。它还取得了数字上的快速收敛。然而，对于信号而言此算法并不总是可以得到单分量和双单分量的所需分解，但可以得到提供精确数学概念和近似数学方法的一个数学理论。
任务将是双重的。 首先是建立一组单分量和双单分量。第二种是通过单分量和双单分量的线性组合来快速逼近信号。 本文主要讨论第一个问题。除了先前在参考文献[1-4]获得的结果外，在本文还将描述一类易于获得的单和双单分量。它们是可以很好地定义瞬时振幅，相位和频率的信号，并且它们是(4)中信号分解的构造单位。在下文中，我们首先提供了一个关于在这方面取得的成就的调查。
在参考文献[3,4]中，我们建立了非线性傅立叶原子， 的理论，其中是中的任何复数，且 是绝对连续且严格增加的函数， ，
是单位圆盘上的点处的泊松核，因此它是正的。函数通过典型的Mobius变换定义：
(5)
结果表明 是一个圆-特征函数，相当于 模数常数。 注意当时，关于的有限乘积是。参考文献[4]研究了广义傅立叶级数和加权傅立叶变换理论，这是最简单的单模块情况，即的情况。如参考文献[1]中给出的那样，进一步扩展到对应有限Blaschke乘积的非线性傅立叶原子的有限乘积。
基于圆上的有限Blaschke乘积在实轴上引入两种类型的单和双单分量。 一个是在圆上从有限Blaschke乘积得到的在的周期性扩展函数; 另一个是Cayley变换下的那些函数的图像（参见第3节）。 后一种类型以前在参考文献[2]中基于不同的方法进行了研究。除参考文献[1,3,4]中的系统研究外，参考文献[6,7]还提出了小波理论的一些相关方面。 我们引用了以下两种单分量[6]的光谱结果。他们将在第2节中被回顾。
将视为线上的周期函数，我们有[6]
(6)
另一方面，通过 表示Cayley变换下的非线性傅立叶原子的图像，[6]可以写为
(7)
其中是 是Heaviside函数。
我们注意到，在这两种情况中的任何一种情况下，光谱都包含原点的非平凡脉冲。这可以防止直接使用Bedrosian定理[8]推导出一般情况即时的单分量或双单分量。
在下面我们给出关于双单分量的一些评论。
将 扩展到傅立叶级数时
或其复杂的傅立叶级数
和都是双循环单分量。这些可以直接验证，或者从定理1.2（见下文）中得出。如果它们被认为是周期函数，它们也是实轴上的双单分量（参见第3节）。 以下结果使我们只关注非双重情况。
定理1.2： 是（循环）单分量当且仅当 是双（循环）单分量时。
证明：假设是单分量。 我们有
并且，因为，
它们可以重写为
，
最后两个关系相当于
因此，是双-特征函数。由于;，它是双单分量。这个论点是可逆的。对于循环的情况，我们用代替，这个证明是完整的。
我们证明，对于 ，是双（循环）单分量。实际上，定理1.2意味着 是双（循环）单分量。 因此 是双（循环）单分量。 通常，当且仅当 时， 是双（循环）特征函数。
此文的写作计划如下：第2节我们致力于星形函数的主要结果；在第3节中，我们处理实轴上的单分量。
作者衷心感谢龚盛，他赞成在一个和几个复杂变量中对星形函数进行全面的参考。我想借此机会感谢尹景新和谢桂芳在向我提供必要的参考资料时给予的非常友好和不断的帮助。
STARLIKE函数的边界值
本节涉及到循环的情况。在下文中，复平面的连通和开放集合称为域。 如果函数在不同点处取不同的值，则称函数是单价的。 我们对星形域的定义，以及星形函数的定义，采用较窄的意义，即相对于极点的星形。
定义2.1：如果和，，域被认为是星形的。如果是星形的并且，则单值和全纯函数被认为是星形的。
与之密切相关的是凸域和凸函数。
定义2.2：域称为凸域，如果 则，。如果 是凸的并且 ，则单值和全纯函数 被认为是凸的。
显然，凸域是星形域，凸函数是星形函数。
星形函数的泰勒展开是以下形式
(8)
我们用表示中的具有泰勒展开的单值和全纯函数的类
(9)
中星形函数的总体用 表示，中凸函数的总和用表示。可以看出是的适当子类，是的一个合适的子类。我们将在的函数称为标准化星形函数; 在的函数称为标准化凸函数。对，和类进行深入的研究，取得了丰硕的成果。在关于星形函数的文献中，我们参考了参考文献[9]。对，和类进行细微分析的最显着特征是它与Bieberbach猜想（1916）的联系，最后证明是由de Branges在1984年给出的[9]。在本文中，我们将指出所提到的研究与-特征函数问题之间的一些联系。 我们首先介绍一些概念。
定义2.3：设 和 是绝对连续的，且
(10)
利用上述性质，如果是满足的循环单分量，则函数被称为循环原子。 如果是满足的双循环单分量，则被称为为双循环原子。
作为定理1.2的结果，以下结果解决了循环和双循环原子之间的对称性。
定理2.1：是循环原子，当且仅当是双循环原子时。
以下结果包含在[10，第1节，第10章]中。如果 是全纯的，并且它单一地将映射到一个简单连接的区域，其边界是有界可重复的闭合Jordan曲线，则连续延伸到 ，使得在上它是绝对连续的
，.
其中是在的非切向边界值。此外，如果是星形的，那么和都是绝对连续的。
出于实际原因，我们只关注这种理想的星形函数 星形函数的重要性在于以下定理。
定理2.2：，，是循环原子，当且仅当它是星形函数的边界值时，其边界是有界可闭合的Jordan曲线。
证明：我们首先假设是循环原子。由于定理1.1，它是中函数的边界值。由于是绝对连续的，并且是非递减的，从移动到，因此参数原理表明是单值的。的非减属性表明是极点为零的星形。通过Cauchy公式，条件(10)表示。因此，我们得出结论，是具有所需属性的星形函数。
现在假设是星形函数的边界值，其中是一个星形域，其极点0的边界是一个有界可重复闭Jordon曲线。显然，是在里。然后定理1.1表明其边界值是循环-特征函数。由于参考文献[10]中的结果在此定理之前的陈述中回顾过，和都是绝对连续的。作为星形域的边界，数值=是非递减的，其导数是非负的。这表示随着从增大到，角度也从增为。条件(10)是Cauchy公式的结果且。因此，我们得出结论是一个循环原子，证明完成。
注意，由于，在证明的第二部分中，是循环-特征函数的事实也可以从循环希尔伯特变换的傅立叶乘数表达式导出，即
我们注意到在复分析中，关于极点的标准化星形函数形式如下
(11)
这主要是关于极点的星形函数的几何对称理论。特别是对于形式(11)，当在单位圆 沿逆时针方向时，则在的边界也是沿逆时针方向的。然而，对于双单分量理论，我们采用以下分析对称的定义，并且适用于希尔伯特变换。
定义2.4： 如果 是星形的（相对于极点0），则函数关于极点被称为星形。
有了这个定义，我们得到了双循环原子的对应结果。
定理2.3： ，，是一个双循环原子，当且仅当，是星形函数关于极点的边界值时，它的边界是有界的可闭合的Jordon曲线。
例2.1（圆圈族）：最简单的例子是圆圈族。任何分数线性变换形式如下
将映射到圆盘，，，在参数化，从到旋转时具有一致的方向，将产生循环原子。 我们现在使用Mobius变换以系统的方式形成这个家族。 Mobius变换 具有幂级数展开
其中 。 我们构造
(12)
此函数在类中。它从圆盘映射到圆盘中。如果，则图像
是不以为中心的圆盘。
实际上，
其中。 从定理2.2得出，对于每个固定的 ，函数是循环原子。 映射可以扩展到，并且包含0的圆盘的直径被分成两部分，长度分别为和。 所以，数字越接近于1时，极点0越接近图像圆的边界。
人们可以类似地制定椭圆族和Casimire曲线族。
作为论证的结果，圆形和双圆形原子的有限产物是多值函数。 我们有以下内容
定理2.4：圆形和双循环H原子的有限乘积分别是圆形单组分和双循环单组分。
证明：lt;
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