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计算与应用数学杂志264(2014)65-70

分数阶倒数的新定义

作者：R Khali l, MA Horani , A Yousef , M Sababheh

文章信息 摘要

文章来历： 我们给分数阶导数和分数积分一个新

2013年5月28日收到 定义，其形式表明它是最自然的定

2013年10月31日校订完成 义，也是最富有成果的定义。对于

关键词 ： 多项式，定义0≦alpha;lt;1 与传统定义（直到

分数阶导数； 常数）是一致的。再有，若 则该

分数积分 定义与传统定义的一阶导数一致。R我们给分数微分方程一些应用。

1. 介绍

分数阶导数与微积分学一样古老，洛比达于1695年提出问题：意味着什么？从此，许多研究人员开始尝试对分数阶导数作定义。他们的大部分人用了分数阶导数的积分形式，其中两个是最受欢迎的:

1. Riemann-Liouville定义：对，在f中对 进行求导，则

1. caputo定义：对，在f中对 进行求导，有

现在，所有定义包含上述的（1）和（2）都满足分数阶导数是线性的性质。这是唯一一个由定义下的一阶导数继承下的性质。然而，下列便是由一些其他的定义得来的延伸：

1． Riemann-Liouville导数不满足， 不为自然数。

2． 所有的分数阶导数不满足对于两个函数的乘积的求导公式，即不满足:

3. 所有的分数阶导数不满足两个函数的商的求导公式：

4． 所有分数阶导数不满足链式法则：

5． 所有分数阶导数不满足：

6． Caputo导数假设函数f是可微的

我们对于分数阶导数的兴趣起源于S．Momani教授展示给我们的微分方程的解决方法。

；其中为的次方

用已知方法解这个微分方程是不容易获得的。所以我们想通过一些新定义来帮助计算。这篇文章的目的就是寻找一个新的，且简易的对于分数阶导数的新定义。这个新定义似乎成为了一般导数的自然扩大。并且它满足上文中第四点所提到的。我们的定义与已知的分数阶导数多项式（直到常数倍）一致。

对于分数阶导数多项式与分数微分方程式的历史与主要结果，参考阅读[1-4]。

2．定义：令且关于的导数定义:

由此，则有，所以问题是：可以与分数阶导数（当）

有相似定义吗？或总有当

让我们写T 去表示分数阶导数的算子。当， 满足下列性质;

1. ,对在领域。

，对所有常数函数

现在我们展示我们的新定义，其可说是最简便，自然且有效的方法对于分数阶导数，，我们应该注意该定义应该变得广义，应对任意 都成立。然而，是最重要的一部分，一旦成立，则其余会简单很多。

定义2.1 给一个函数,然后，的对于的一致分数阶导数被定义为

对所有，若为在上阶可微的函数，，且

存在，则我们有时会把写成，去表示对与一致的分数阶导数，若一致分数阶导数存在，则我们可以说为阶可微。

我们应该注意，我们的定义与传统的R-L定义与caputo定义多项式（直到常数函数）一致。作为上述定义的结果，我们获得下述有用的定理。

定理2.1 若函数为阶可导，，在处连续

证：，然后

令 则有

所以，在处连续。

我们轻易可以得到满足下列定理的性质。

定理2.2 令，且在时为阶可微。则

1. 对所有

2. 对所有

3. 对所有常数函数

4.

5.

6.此外，若可微，则

证:我们只选择4和6证明，因为它们很重要。现在，对于确定的

因为在处连续，则，则完成证明，5可以用相似的方法证明。证6，令在定理2.1中，然后，有

确定的函数的一致分数阶导数

然而，这对于下列确定函数一致分数阶导数是无用的。

需要注意的一点是一个函数可以成为在某点上阶可微的函数，但不是可微函数。比如，令然后当 不存在。这并不是我们所知的传统分数阶导数的情况。虽然最重要的是 这个范围，但当，为自然数时，我们应该如何定义呢？

定义2.2 令为一个在上的阶可微函数，的关于 的一致的分数阶导数，定义为

为最小的整数，且大于等于0

注意2.1 作为定义2.2的结果可写为

为阶可微当时

定义的分析

早先的关于分数阶导数的定义没有使我们学习到 阶可微函数的分析，然而，我们的定义可容易的证明基本的分析理论如Rolle`s理论与平均值理论。

定理2.3 （Rolle`s理论对于一致的部分可微函数） 令为一个给定的函数，满足：

1. 连续

对于存在阶可微的

有 使得

证明：因为上连续，且,有 ，该点为局部极值

假设为局部最小值，

但，第一限制为非负，第二限制为非正，则有

定理2.4 （一致的局部可微函数的平均值定理） 令为一个给定函数，其满足: 1．连续

2．为可微，

证明：考虑函数

则函数满足rolle`S 定理，所以有使得

已知，遵循结果。

在基础分析上沿相同的直线，我们可用目前的平均值定理去证明下列命题

命题2.1 令为一个-可微的函数，

1.若在上有界，，在上一致连续，则f有界

2.若 在上有界，且在处连续，则在上一致连续，则有界。

显然地，若在上有界，则在上一致连续，然而，其逆定理为假。

假设 在，则在上一致连续，但无解。然而，对，的有界性与在上的连续性（在拓扑子空间，为时的连续性，等价于在上的右连续性） 意味着上述命题中在上的一致连续性。

3．分数积分

总之，最重要的函数种类是去定义积分是连续函数的距离，所以，用Weiertrass定理，足够定义多项式的分数积分，下列有：假设，定义

若 ，我们再定义

若 ，其一致收敛，然后我们定义

显然的为该域的一条直线，若，则为常规积分。

现在，根据定义，若，则有

同样的，对于以及，为的函数， 这些例子表明了下列关于阶分数积分的定义。

命题3.1

该积分为一般错误的黎曼积分，所以

下面为其中的好的结果。

定理3.1 ，为在领域里的任意连续函数。

证明：因为连续，则显然可微，则有

4、应用

现在我们根据我们的定义去解决分数微分方程。

例4.1： ，这是我们在介绍里提及的方程式，其逼近让我们去寻找关于的齐次方程式。我们在寻找形式的解决方法。其为辅助方程式。所以，

很容易去查找 为非齐次方程式的一个特殊的解法。

现在，一般解决方法是，为常数。

最后，最初的情况，意味着，所以

我们应该注意一个已知的方程式啊是人们用R-L导数去解决的。 用代替

然后我们得到同样的解法。但是我们用我们自己定义的方法会更加简单。

例4.2 可以容易的展示出的辅助方程

所以解决方法是由给出。

更多细节包括待定系数的方法会在接下来的文章里讨论。

在下列例子中，我们会展示分数阶导数乘积规则的好处，用它使用积分因子的思想。

例4.3，我们解决这个方程用的乘法，然后，为常数，其能被容易的被上列方程式的解法表明。

例4.4

假定我们在寻找一个可微的，所以，根据定理2.2中的(1),我们有

所以，分数微分方程变成所以。这是一个齐次微分方程且能被容易解决。

结束语;

1．我们相信在这里展示的分数阶导数，对于，是自然的。下面提出的问题是突出的：它的物理意义比起早先的方法能够被容易的解释吗?

2．展示在这里的倒数没有任何延迟反应但是其他因子有。（这时积分定义的核心）

3．考虑一个非常简单的微分方程如果一个人必须用caputo定义或者R-L定义去解决这个问题，则他必须用拉普拉斯变换或者分级幂级数法，然而，用我们的定义可以轻易的得出是它的解。

4.根据传统定义，则当的时候是怎么样的呢？现在根据我们的定义。而用传统定义去赋值，则不是一件简单的事。

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