解决问题活动的方法
——以几何问题为例
原文作者 Annalisa Cusi 单位 都灵大学
摘要：在本文中，我展示了一项研究的结果，旨在分析教师在培养使用代数语言作为支持问题解决工具的认识方法方面发挥的作用。 特别是，我将介绍一次关于解决几何问题的课堂讨论的分析，这个问题可以通过构建一个合适的方程来解决。 这种分析是参照我在以前的研究中发展出来的一种理论结构进行的，可以描述教师在面对这类解决问题活动时应该如何表现。
关键词：几何；问题分析；教师
介绍
本文的目的是介绍一种理论工具，可以支持分析教师在培养对使用代数语言作为解决问题工具的认识方法中所发挥的作用。 准确地说，我选择专注于意大利学校传统典型的解决问题活动：几何问题可以通过代数方法解决，即通过构建合适的方程来解决。
在进行这种分析时，我指的是我在以前的研究中发展出来的一种理论结构（Cusi＆Malara 2009,2013）：教师是一种“意识和有效态度和行为模型”（在下面的MAEAB中）。 理论结构将在下一节中介绍，其中我还将概述可以分析这类活动的框架。 在接下来的部分，在介绍研究假设，目标和方法论之后，我将分析一些课堂讨论的摘录。 这个分析的结果及其理论意义将在上一节讨论。
理论框架
（1）与解决问题过程中失败或成功相关的一般因素，（2）与解决问题的过程相关的一般因素， 使用代数语言作为思考工具;（3）问题解决者必须参考视觉表征时问题解决过程中涉及的动力;（4）教师在促进学生发展基本能力方面发挥的作用 有效地执行这种任务是必要的。 正如我之前所宣称的，我的研究重点是第四个视角。 然而，分析教师的角色需要考虑其他观点。
关于第一个观点，Schoenfeld（2010）将解决问题的决策过程描述为一个反复的过程：（a）一个人进入具有特定资源，目标和方向的特定背景; （b）他/她激活某些突出的信息和知识; （c）根据这些目标确定具体目标并作出与追求的方向和使用哪些资源相关的决定（如果情况不熟悉，则作出决策是指可用选项的主观预期值）; （d）开始实施并进行监测（有效与否）。舍恩菲尔德注意到，针对特定目标的例程有子例程，它们有自己的子目标。当达到子目标/目标时，个体进入另一个目标或子目标。如果事情看起来不顺利，那么个人决定改变目标或确定其他途径来实现目标。
在我分析的活动中，要确定一种合适的策略，也取决于学生有效使用代数语言作为构建推理的工具的能力（第二种观点）。由于我的研究成果（Cusi，2009），我能够强调，代数语言作为一种思维工具的有效使用需要发展三种主要的关键能力：（a）能够激活适当的概念框架并有效协调不同的框架（Arzarello et al。2001）; （b）能够运用适当的预期想法（Boero，2001）; （c）能够在翻译和解释层面上协调代数和口头登记（Duval，2006）。
由于我选择关注的问题解决活动的背景是几何问题解决活动，这些活动还涉及对视觉表示的连续引用。杜瓦尔（Duval，2002）已经确定了不同的基本动力学特征，即当问题解决者必须参考视觉表征时（第三个视角）问题解决过程的特征：（1）问题解决者从问题文本开始画出一个初始图形; （2）可以识别不同的子图（它们的识别不需要取决于开始图形的构建方式）; （3）为了发展推理，问题解决者需要强调陈述（定理，定义，属性...）和可以识别的子数字之间的联系。
我简要地进行了关于所有这些方面的讨论，可以强调教师在课堂上开展这种活动时所发挥的微妙作用。在我以前的研究中，在通过代数语言确定了支持推理构建过程的关键能力之后，我关注了老师扮演的角色，并确定了一组角色，这些角色概述了一位教师的个人资料，他能够有效地指导他/她的学生发展三个关键能力（库西和马拉拉2009,2013）。 MAEAB理论结构是本研究的结果，它突出了一位教师的方法，他有意识地不断地表现出“让思维可见”（Collins et al。，1989），以使他/她的学生不仅关注在句法或解释方面，还包括在活动中采用的有效策略以及对所执行的行为的元反映。
第一组典型的扮演他/她自己作为MAEAB的老师的角色是当他/她试图进行课堂活动而不是作为提出有效方法的“纯粹专家”时进行的课堂活动，而是作为学习者在隐藏思维的主要目标可见的情况下面临问题，强调目标，策略的意义和结果的解释。属于这一组的角色是：（a）调查正在启动的研究工作中的课程的主体和组成部分; （b）实用/战略指南; （c）解释过程和预期想法的“激励者”（见Cusi＆Malara 2013对这些角色的更详细的分析）。
第二组角色指的是活动的各个阶段，在这些阶段中，教师也成为学生的参考点，帮助他们明确不同层次的显着方面，明确联系他们已经开发的知识。属于第二组的角色是：（d）在语法和语义层次之间促进协调平衡的指导; （e）反光指南; （f）反思态度和元认知行为的“激励者”（参见Cusi＆Malara 2013对这些角色的更详细的分析）。
研究假设和目标
正如我在开始时所说的，这项研究的主要目的是分析，参考MAEAB结构，教师在课堂讨论中如何执行关注几何问题的活动，这些活动可以通过构建合适的方程式来解决。我选择了这些活动，因为它们涉及不同层次基本组件之间的有趣相互作用：
（1）使用代数语言作为思考工具; （2）对视觉表示的有效参考; （3）口头登记册，符号登记册和几何图形登记册之间的良好协调; （4）激活解决问题活动中典型的决策过程（特别是确定适当的目标并对所实施的策略进行有效的监督）。
我的假设是，MAEAB构造可以成为分析教师在这类活动中所起作用的有用工具，其目的是突出教师在课堂讨论中的干预目标以及这些活动的有效性（或不）干预措施。与此同时，我意识到MAEAB构想是指一个具体的数学活动，因此需要对其进行改进，确定可能的其他角色，这些角色通常是涉及视觉表示的解决问题的活动。
因此，分析教师在开展这种活动中的作用有两个主要目的：（1）确定由MAEAB构造强调的角色，这些角色主要由教师在这类活动中执行; （2）通过参考这些具体活动来完善这些角色，并引入其他可能的角色，以更好地描述当问题需要发展推理时，教师应该如何表现行为。
研究方法论
为了实现上一节介绍的两个目标，我分析了一位已经参与了我以前的研究的老师（Cusi＆Malara，2009年）进行的五次课堂讨论（五个不同问题）的录音成绩单， 。选择这位老师是因为她在课堂上的行为方式的分析表明，在以前的实验中，她的方法有效地使认知和元认知过程可见，并促进元层次的反思。
我对涉及MAEAB构建的成绩单进行了分析，以讨论教师的干预措施。特别是，我侧重于旨在使学生能够做到的干预：（a）反思最恰当的未知的选择; （b）分享他们的战略并使其明确; （c）解释有关问题的结果; （d）确定适当的目标并学习如何监测所执行的策略。为了举例说明分析是如何进行的，在下一段中，我将分析五个课堂讨论中的一个的一些摘录。讨论集中讨论下一节将简要介绍的问题。
分析活动的重点问题
我将要分析的讨论涉及以下问题：
等腰梯形的高度是两个底边总和的4/15。较小的底边是较大底边的4/7。外围是288厘米。找到梯形的面积和其对角线的长度。
这个问题的解决方案可以细分为六个主要关键时刻。在下表中，这六个关键时刻被突出显示并加以注释（第2列），并提及解决过程的可能轮廓（第1列）。由于这个简短分析的目的是强调当代数语言被用作支持解决问题的工具时干预的动力学，我不会分析解决过程的最后部分（即解决方程式的阶段用于确定梯形的面积和其对角线的长度）。
|
解决过程的可能的简单轮廓 |
决议过程中的关键时刻以及对相关能力的反思 |
|
CH=(AB-CD) CD=AB 2p=288cm |
（1）参考图的构建，假设的识别和表示（梯形高度和基数之和，两个基数之间的关系，周长）之间的关系。 |
|
AB=X;CD=x CH=(X-X)=X |
（2）确定一个适当的未知数，并参照假设将其他未知元素表示为仅包含所选未知数的表达式。 这需要有一个适当的预期思想来理解什么是最有效的选择。 |
|
2p=288cm →AB CD 2CB=288 所以，有必要写出CB关于x的表达式 |
（3）识别有用的关系（周长的长度）来构建能够确定未知数的方程。 这可以确定一个指导解决过程后续步骤的目标。 实际上，第一步是确定应写为x的表达式的元素（CB的长度）。 |
|
因为勾股定理 |
（4）引用理论陈述（毕达哥拉斯定理）来确定将CB的长度写为x的表达式的进一步关系。 这需要确定一个有用的子图（如果我们绘制高度CH，则突出显示）和该子图与我们可以参考的理论陈述之间的联系，以突出涉及未知元素的进一步关系。 此外，它需要启动一个预测思想，以便确定另一个子目标：要将CB的长度表示为x的表达式，有必要将HB的长度表示为x的表达式。 |
|
HB=(AB-CD)=X →CB=x |
（5）识别能够将HB的长度写为x的表达式的关系。 这需要识别子图和相应的语句（因为ABCD是等腰梯形，HB是两个底之差的一般），这有助于突出HB，AB和CD之间的关系。 代表HB作为两个底之差的一般的正确符号表达式的构建需要符号寄存器和几何图形的寄存器之间的良好协调。 |
|
x x 2·x=288 x=140 |
（6）构造并随后解决能够确定未知数的方程。 与特定数据相关的解决方案的解释（这是朝向以下解决阶段的基本步骤）需要符号寄存器和几何图形寄存器之间的良好协调 |
表1.解决过程中的关键过程
分析一些课堂讨论的摘录
在下表中，列出了有关该问题的课堂讨论摘录（第1栏）并根据MAEAB构建体进行分析。（第2栏）由于空间的限制，选择的摘要将重点放在课堂讨论的部分内容上，教师（T）引导学生反思他们的策略并构建合适的等式。
|
课堂讨论摘录 |
教师对MAEAB构造的作用的解释 |
|
最初，T读取问题的文本，与她的学生一起构建参考图，并要求他们思考解决问题的可能策略。 学生分小组工作。 然后，T在写完之后，由她的学生们指导了这个问题的假设，并要求他们提出他们尝试采取的方法来解决问题。 |
|
|
（1）T：我写了数据。 D，An和Al，你有没有什么想法？ （2）D：我们认为AB = x |
|
|
T :(与其他学生说话）他们的想法是考虑AB = x，所以他们表示AB是未知的，为什么？ （与三名学生交谈） |
T扮演着元认知行为激发者的角色：她要求三名学生将他们选择未知的原因作为明确的原因。. |
|
（4）D：因为这样我们可以找到CD。 （5）答：因为如果我们知道CD，那么我们也可以部分找到CH。 （6）T：部分？ （7）安：不，我们找到了！ |
|
|
T：D在说....他的团队为什么选择AB作为一个未知数？因为，如果我们考虑x = AB，从这个关系CD=AB（她正在表示表达式），我们可以立即找到CD作为x的表达，而不会引入另一个未知数。 那么，如果我有AB和CD，我能从第一个关系中找到什么？（她正在写这个表达式）CH=(AB-CD) |
T扮演着反思性指导的角色：她回忆D和An观察到他们的认知和元认知过程是非常明确的。 通过这种方式，其他学生可以将他们的推理方式（选择未知）作为他们可以参考的模型。 |
|
（9）S：CH （10）T：CH。 你同意吗？ （和其他同学聊聊）。 其他小组是否使用相同的策略，或者他们选择了不同的未知数？ |
|
|
在接下来的讨论环节中，D，An和Al引入了等式CD=AB和CH=(X-X)=X。他们宣称他们不能继续下去。 之后，L，P，A（另一组）介入，提出了他们在确定一个可用于构建可以帮助解决问题的等式的良好关系时遇到的困难。 A建议参考关系AB BC CD DA = 288（即关于周长的信息）。 P表明CD可以被x表示 |
|
|
（50）T：P说：“我们写AB = x，所以我们可以用x和CD替代AB用4 / 7x“。 我们还有什么问题？ 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 外文文献出处：Cieaem , 2016 附外文文献原文 The role of the teacher in fostering an aware approach to problem-solving activities: the case of geometric problems that could be solved through the construction of equations Annalisa Cusi Universitagrave; di Torino Via Gaudenzio Ferrari 9, 10124 Torino annalisa.cusi@unito.it Abstract: In this paper I present the results of a study aimed at analysing the role played by the teacher in fostering an aware approach to the use of algebraic language as a tool to support problem solving. In particular, I will present the analysis of a class discussion focused on the resolution of a geometric problem that could be solved through the construction of a suitable equation. This analysis, performed referring to a theoretical construct I developed in previous studies, will enable to characterise how the teachers should try to behave when facing this kind of problem solving activities in their classes. Reacute;sumeacute;: Dans cet article, je preacute;sente les reacute;sultats dune eacute;tude visant agrave; analyser le rocirc;le joueacute; par lenseignant dans la promotion dune approche consciente agrave; lutilisation du langage algeacute;brique comme un outil pour soutenir la reacute;solution de problegrave;mes. En particulier, je vais vous preacute;senter lanalyse dune discussion en classe axeacute;e sur la reacute;solution dun problegrave;me geacute;omeacute;trique qui pourrait ecirc;tre reacute;solu gracirc;ce agrave; la construction dune eacute;quation approprieacute;e. Cette analyse, effectueacute;e reacute;feacute;rant agrave; un outil theacute;orique Je deacute;veloppeacute; dans les eacute;tudes preacute;ceacute;dentes, permettra de caracteacute;riser la faccedil;on dont les enseignants devraient essayer de se comporter face agrave; ce genre dactiviteacute;s de reacute;solution de problegrave;me dans leurs classes. Introduction The aim of this paper is to introduce a theoretical tool that could support the analysis of the role played by the teacher in fostering an aware approach to the use of algebraic language as a tool for problem solving. Precisely, I chose to focus on problem solving activities that are typical of the Italian school tradition: geometric problems that could be solved through an algebraic approach, that is through the construction of suitable equations. In performing this analysis, I refer to a theoretical construct that I developed in a previous research (Cusi amp; Malara 2009, 2013): the one of teacher as a “model of aware and effective attitudes and behaviours” (in the following MAEAB). The theoretical construct will be presented in the next section, where I will also outline the frame within which this kind of activities could be analysed. In the subsequent sections, after a presentation of the research hypothesis, aims and methodology, I will present the analysis of some excerpts from a class discussion. The results of this analysis and its theoretical implications will be discussed in the last section. Theoretical frame The analysis of the teaching-learning processes connected to problem solving activities that involve a complex interplay between algebraic and geometric reasoning could be performed according to different perspectives: (1) the general factors connected to failure or success in problem solving processes, (2) the use of algebraic language as a thinking tool, (3) the dynamics involved in problem solving processes when the problem solver has to refer to visual representations, and (4) the role played by the teacher in fostering studentsrsquo; development of the fundamental competencies necessary to effectively carry out this kind of tasks. As I previously declared, the focus of my research is on the fourth perspective. However, analysing the role of the teacher requires to take also the other perspectives into account. 379 “Quaderni di Ricerca in Didattica (Mathematics)”, n. 25, Supplemento n.2, 2015 G.R.I.M. (Departimento di Matematica e Informatica, University of Palermo, Italy) As regards the first perspective, Schoenfeld (2010) describes the process of decision making in problem solving as an iterative one: (a) an individual enters into a particular context with a specific body of resources, goals, and orientations; (b) he/she activates certain pieces of information and knowledge that become salient; (c) he/she establishes specific goals and makes decisions, consistent with these goals, regarding what directions to pursue and what resources to use (if the situation is not familiar, decision-making is made referring to the subjective expected values of available options); (d) implementation begins and monitoring (effective or not) takes place. Schoenfeld observes that routines aimed at particular goals have sub -routines, which have their own subgoals. When a subgoal/goal is achieved, the individual proceeds to another goal or subgoal. If things donrsquo;t seem to be going well, the individual decides to change goals or to identify other pathways to try to achieve them. The identification of a suitable strategy to be adopted during the kind of activities I am analysing depends also on the studentrsquo;s capability of effectively using algebraic language as a tool to construct reasoning (second perspective). Thanks to my research studies (Cusi, 2009) I was able to highlight that an effective use of algebraic language as a thinking tool requires the development of three main key-competencies: (a) being able to activate appropriate conceptual frames and to effectively coordinate different frames (Arzarello et al. 2001); (b) being able to apply appropriate anticipating thoughts (Boero, 2001); and (c) being able to coordinate algebraic and verbal registers on both translational and interpretative levels (Duval, 2006). Since the context of the problem solving activities I chose to focus on is the geometric one, these activiti 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[279583]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word |
|
课题毕业论文、文献综述、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
