数学教育错误分析外文翻译资料

数学教育错误分析

原文作者 Hendrik Radatz

单位 Institut fiir Didaktik der Mathematik Bielefeld, Germany

摘要：本文讨论了五种在信息加工过程中的错误：语言困难，获取空间信息的困难，缺乏必备的技能、事实和概念，错误地联结，以及运用无关的规则。

关键词：教育调研； 中小学教育； 错误模式； 信息加工教学； 学习问题；数学教育

错误分析在数学教育中历史悠久。半个多世纪以前，美国的Buswell和Judd (1925)引用了30多项研究，明确地指出了如何诊断算术错误。当时，德国也有很多同一主题的研究（参见Weimer, 1925; Seemann, 1929）。由于当时的时代精神与心理和教育研究的差异，以及教育政治和学校组织结构的差异，两国对学生错误地分析研究表现出完全不同的观点与关注点。美国的错误研究的研究方法和假设一直都以行为主义为主导，而欧洲则收到格式塔理论和教育学改革者观点的影响；在苏联，教育制度变迁和课程设置的条件是重要的影响因素。这些差异可能解释了为什么关于数学学习错误的研究很少能跨越国界。近年来，人们对错误分析的兴趣越来越大，而且不再将关注点仅仅局限于算术计算中的错误。这样的发展可以归因为以下几点：

1. 对数学常模参照和标准参照学力测验的失望和怀疑增强了人们对教学诊断方面的关注。

2. 数学课程内容的改编可能没有减少困难和错误，但却一定带来了新的与具体内容相关的错误。

3. 数学教学的个性化和差异化需要熟练、具体的困难诊断方式，教师需要能将数学的各方面内容和教育、社会心理学的发现相结合的行动模式来用于诊断教学。在缺乏考虑数学教学内容的情况下，对个体差异的分析几乎不能给教师的个性化教学提供实际帮助或在遇到具体的学习困难时提供方案。

4. 对传统实证研究范式的批评（比如一本普通学生的小说）刺激了数学教育的其他研究方法，比如临床研究、案例研究和教学现象学。在这一方面，许多最近的研究能够被例举出来（参见 Ashlock, 1976; Erlwanger, 1975; Ginsburg, 1977; Grudjenov amp; Horn, 1977; Kuzmitskaya, 1975; Men- chinskaya amp; Moro, 1975; Pippig, 1975, 1977; Radatz, 1977; Reisman, 1972; Burrows, Note 1）。

我们可以假定，就像许多教育研究问题一样，数学错误分析由于社会目标、条件与教育课程和教学大纲之间的差异（比如不同的算法和不同的数学内容安排）导致研究结果向具体结果的转移和总结变得十分困难。根据Snow（注2）所说，当我们参考所给出的错误分类建议时，要始终记住只有非常特定的教学理论才是有可能的。根据学生个体的困难进行错误分类时，我们当然应该承认错误也是教育中其他变量的函数（教师、课程、环境以及变量之间的任意可能交互）。数学学习错误是一个非常复杂的过程的结果，把一个给定的错误和导致错误发生的可能原因进行非常明确地分离通常是非常困难的，因为错因之间的相互作用是如此紧密。而教师对诊断数学教学的需要则使得用错误原因的认知模型补充关于错误模式的研究（参见Cox, 1975; Engelhardt, 1977; Burrows, 注1）变得十分必要。信息处理机制似乎为原因的分类提供了一种可能的基础。

信息加工的错误分类

通过分析个体获取、加工、保持、再生数学问题中包含的信息的过程，可以确定个体在解决各种数学内容时出现的各种错误原因。

由于语言困难而导致的错误

对于许多学生而言，学习数学概念、符号和词汇是一门外语问题。在解决文字问题时，学生必须避免受到一个词汇在自然语言中众多背景语义的影响。对数学文本语义的错误理解常常是学生错误的根源。在解决文字题的过程中，学生从自然语言语义向数学语言语义转换时特别容易出现错误（参见Aiken, 1972; Kane, Byrne, amp; Hater, 1974; Pippig, 1977）。

由于运用空间信息能力不足而导致的错误

在中小学的数学教科书中，越来越倾向于通过图表和可视化手段来表示数学信息。教育者对Bruner的概念发展的表达方式的解释导致数学问题中出现了大量的图标性指令、图表和可视化的条件。而这些表达对学生的空间想象能力和视觉判断能力提出了相当高的要求。许多数学错误是由于学生在学校的个体差异造成的——学生的空间想象能力和空间思维能力（参见Jakimanskaya, 1976），随之而来的是一些孩子在解决数学问题时出现获得可视化和空间信息上的困难。

举例来说，如图1所示，对五组集合中的每一组来说，学生最常犯的错误是阅读韦恩图。阴影部分对应于学生给出的问题答案的数字。通过这样的任务设置，人们可以通过检测他的回答来决定学生参与的部分。在解决不同语境下的相似问题时，同一个学生出现的错误更少。显然，这些学生阅读韦恩图的苦难不是来自于理解符号的缺陷或情境的细节，而是由于他们对于集合边界线的越线和对无关线的忽视的抑制。

图 1 五年级学生在图表阅读任务中最常见的错误（用阴影表示）

一系列的研究表明，数学情境中的图标表示可以在信息加工过程中造成巨大困难，而且感性分析和综合分析往往比解决数学问题本身对学生提出的要求更大。

由于缺乏必备的技能、事实和概念而导致的错误

这种类型的错误包括了所有在完成数学任务时所必需的特定内容和特定问题上的知识的不足。基本条件的缺乏包括不知道算法，对基本事实的掌握不准确，运用数学技能的程序不正确，以及缺乏必需的概念和符号的知识。Bloom（1976）在研究中强调了这些变量在人们可观察到的学习巨大进步中起着重要的作用。在用于具体数学学习任务的旧知识的因素的影响下，学生在学校的学习有着很大的个体差异。

以下的问题是布置给四年级学生的：“两倍最小的三位数，然后与最大的四位数作和。”这里展示了三个由于缺乏基础知识而产生错误的案例：

100 100 = 200 111 111 = 222 333 333 = 666

200 400 = 600 222 9999 = 10221 666 444 = 1110

由于错误地联结或思维僵化而导致的错误

由于负迁移作用而导致的错误在数学教育的错误分析领域中是众所周知的，而且在数学问题加工的研究中变得尤其重要。在解码和编码过程中缺乏灵活性常常意味着在接触类似问题时会出现习惯性思维，学生甚至会在数学问题的基本条件已经改变的情况下依然继续使用原来的认知操作。内容或解决过程的某些方面会一直保存在脑海中，从而抑制了新信息的加工。

关于这一类型的错误，Pippig（1975）给出了一个有趣的分类，具体如下所示：

1. 顽固的错误，其中任务或问题中的单一元素占据了主导地位，例如

9times;60 = 560 5times;13 = 63 6times;60000 = 36000 41 7 = 47.

1. 联结的错误，包括两个元素之间的错误联结。例如

66 12 = 77 3times;9 = 36 56 15 = 67.

1. 干扰的错误，其中两个不同的操作或概念互相干扰。以下的例子展示了两个加法和减法算法之间的干扰：

6845

372

35437

561

30375

为了获得答案，学生在个位数的列中将数字相加，得到15；除了第一位数字以外，将十位和百位的列上的数字都相加，分别得到17和13；然后用减法得到答案中的剩下两位数字。由于过程的相似性，以往学习过的技能或算法会让新技能和算法变得困难，此时干扰的错误就产生了。

1. 同化的错误，其中听到错误的信息会导致书写的错误等等。这样的错误经常被分类为由于缺乏注意力而导致的错误（随机的或粗心的错误）。
2. 负迁移的错误，其中人们可以辨认出从一组练习或单词问题中获得的错误印象的影响。下面的例子展示了完成一个任务时错误的印象是如何发展的：

由于运用无关的规则或策略而导致的错误

在苏联关于数学学习的研究中，无关规则的运用、不正确算法的发展和不适当策略的应用在解决数学任务和问题上已经尤为重要。这种错误通常源于在其他内容上运用类似的规则或策略取得成功的经验。

图2展示了一个选自一个标准参照考试的几何例子，这一考试来自Alef项目（Bauersfeld, 注3），在学年末给4000名四年级学生做了测验。问题的任务是“将给定的图形旋转180°”这些数字表明了选择每个选项的学生的百分比，而选择正确选项的百分比被用下划线注明了。通过后续与学生访谈中的附加问题，我们分析了这些错误（具体参见Bauersfeld, 1978; 注3）。访谈显示许多学生把正方形折叠起来而不是旋转。在第一题中这种“折叠策略”产生了正确的答案；它也适用于第二题。在第三题中，由于给定图形的对称性与之前的不同（对称轴是对角线），这一策略不再起作用。这一策略在第四题中也同样失效了。学生错误的一致性支持了坚持最初策略的假设。

图 2 四年级学生的标准参考测试卷，标注了各选项被选择的百分比

在这方面，我们应该提及Erlwanger (1975) 和Ginsburg (1977)的研究。Ginsburg表示，“典型的儿童错误是建立在系统性规则上的hellip;hellip;错误很少是反复无常或随机的。孩子们通常把数学看作是一种有着特殊规则而且与现实没有明显关联的独立的游戏。同时，学生的错误规则有着合理的起源。”

学生对于数学尤其是算术的理解是一种有着任意规则的游戏，这或许能够为分析学生错误的许多原因提供背景。由于前面提到的每一个原因，各种策略和规则的意义能够在许多错误中被承认。由于运用无关规则而且和缺乏必要先决条件的错误密切相关的例子如下：

这种明显的和个别的规则在计算的错误模式中通常是能被辨认出来的（参见Ashlock, 1976; Cox, 1975; Burrows, 注1）。

以上五种基于信息加工过程的分类可以看成是错误分类中的一个基本模型。其它信息加工方面的数学学习错误包括未能考虑问题的相关条件，未能完成解题过程，缺少解题媒介和片面地使用概念。

当我们试图超越队错误技术和错误模式的分析，走向对学生认知方面的可能原因分析时，信息加工的各个方面似乎为分类提供了丰富的基础。对学生数学错误的分析应该在观察的背景下，因为大部分错误来自于学生运用了非常个性化和知觉的规则或策略。

讨论

上述对学生数学解题错误的可能原因和诊断方法的描述启发了几个观点。第一，学生在数学学习中出现的错误并不是简单地缺少正确答案或不幸的事故。这些错误是确定过程的结果，而这些确定过程的本质必须要弄清楚。第二，通过个体信息加工的机制来分析学生学错误的本质和背后的原因是可能的。第三，对错误的分析提供了理解学生数学学习过程的大量观点。第四，目前流行的量化测试以及类似的测量成就的方法不能为有效教学提供充足的标准。而对错误的诊断和错误原因的分析考虑，可以把数学课程知识和学生的个体知识结合起来，从而为数学教师提供特定的帮助。

最后，我们应该注意到现阶段数学错误研究的一些困难。在上面举出的许多例子中，由于错误原因之间相当紧密的相互作用，将一个给定错误的可能原因之间截然分开通常是非常困难的。同样的问题导致不同来源的错误和同一个错误但是来自不同的问题解决过程。对错误原因进行明确的分类和层次划分似乎是不可能实现的。尽管存在这样和那样的问题，错误分析似乎不仅为数学学习的基础研究问题提供了信息，而且为教师实施个性化教学和对自己的教学效果更为敏感提供了实际帮助。

外文文献出处：Radatz H. Error Analysis in Mathematics Education[J]. Journal for Research in Mathematics Education , 1979,10(3):163-172.

附外文文献原文

ERROR ANALYSIS IN MATHEMATICS EDUCATION

Error analysis in mathematics education has a long history. In the United States, Buswell and Judd (1925) over a half century ago cited more than 30 studies dealing explicitly with the diagnosis of arithmetical errors. Studies on the same topic were also numerous in Germany at that time (see Weimer, 1925; Seemann, 1929). The analyses of pupils errors in the two countries were characterized by very diffe

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

英语原文共 11 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[279544]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word