三态Potts模型中三维相边界附近的广义磁化率外文翻译资料

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三态Potts模型中三维相边界附近的广义磁化率

华中师范大学，夸克和轻粒子物理重点实验室(MOE)和粒子物理研究所

摘要

通过蒙特卡罗方法模拟三维、三态Potts模型（一个有限温度下单纯测量量子色动力学的范式），我们研究了广义磁化率在外磁场作用下一阶和二阶相变及其交叉点的波动情况。在三个已知的外磁场下二阶磁化率出现了相似的峰样波动。三阶到六阶磁化率出现了相似的震荡波动。我们发现在有限尺度的系统里，这些非单调的波动不仅与二阶相变有关，而且和一阶相变及其交叉点也有关联。我们进一步用有限尺度标度律对二阶和四阶磁化率进行了分析。标度指数的大小反映了相变的阶数或平滑过渡区（crossover）。

1. 前言

研究表明，一种新的物质——夸克胶子等离子体——已经在相对论重离子对撞机（RHIC）产生。然而，在温度—重子化学势（）图上，相边界还不清楚。RHIC的束能量扫描项目的任务之一就是描绘量子色动力学相图。

在高重子化学势和低温下，理论预计系统经历了一阶相变。随着重子化学势的减少和温度的增加,一阶相变线在临界点结束,这个临界点具有三维(3D)伊辛普适性。当化学势为零时，晶格量子色动力学的计算表明该点是一个平滑过渡。

图1.（a）无外场时QCD相变图；（b）三维Potts模型的相图

为了绘制QCD相图，守恒荷的高阶累积量被认为是二阶相变的敏感观测量。它们和广义磁化率相关，并且可以用格点QCD估算化学势趋近于零时的值，即在图1（a）中蓝色箭头所指的位置，在这个位置的转变表现为二阶相变的普适性。在有限化学势的临界点（如图1（a）中红色箭头线所指的位置），有效的的QCD模型也可以计算守恒电荷的累积量。这些都表明，广义磁化率的非单调的波动是临界点的标志，比如：最大值点和震荡等。

讨论一个有趣的问题，如果系统从相的边界的一边经过相的边界线到达另一边，比如一阶相变的的地方（如图1（a）中黑色箭头线所指的位置），那么广义磁化率的行为会发生什么样的变化。一个模型调研将会是很有用的。

三维三相Potts模型是有限温度纯测量QCD标准模型之一。Potts模型和QCD系统一样具有Z（3）全局对称性。在温度和外磁场平面上，它的相界线如图1（b）所示所示,这类似于QCD的相界线。在没有外磁场的情况下，由温度驱动的相变被证明是一阶相变。随着外磁场的增加，一阶相变逐渐减弱，并在临界点结束，临界点也属于三维伊辛普适类。临界点之外是一个crossover地带。QCD退禁闭相变和QCD手性对称性恢复都有从一阶相变到二阶相变末端结束的界线。在Potts模型中重子化学势的行为和外磁场类似。

在本文中，我们首先介绍在三个给定的外磁场中，温度在一阶以及二阶相变温度附近，二阶到六阶磁化系数的波动情况以及Potts模型中的平滑过渡区，也就是图1（b）中所示的穿过相边界线的黑色，红色和蓝色箭头线

本文的章节脉络如下：首先，在第二节中介绍三维三相potts模型磁化相应的磁化率；一阶和二阶相变中在不同的外磁场环境下二阶到六阶的磁化系数将在第三节介绍，值得一提的是这些都存在于非单调的波动中。有限尺度下二阶和四阶磁化系数将在第四节中进一步分析。第四节中介绍了有限尺度标度指数一般随着外磁场的改变而变化，因此，他们可以用来辨别相变的阶数。最后，总结和结论在第五节中给出。

1. 三维三相Potts模型中的广义磁化率

三维三相Potts模型是用自旋变量{1，2，3}来描述的，位于体积的立方晶格的格点上。 该模型的配分函数为

其中和是规范化的外磁场。这里， E和M分别代表能量和磁化强度，其定义分别为

，

其中，代表临界自旋间的相互作用能。在这个公式里，设为1，代表“鬼自旋”。无外场时系统倾向于在这个方向上磁化。

序参量由磁化强度的平均值定义

，

然而在QCD纯测量学中的序参量是由Polyakov提出的，代表的是磁化系数。它（序参量）标志着在退禁闭相变中自发中心对称性破缺。

磁化系数是自由能密度关于外磁场的二阶导数

如果没有，那么就是磁化强度的二阶累积量.三阶到六阶的广义磁化系数如下：

，

，

，

其中。

在下一节中，我们将要介绍不同尺度大小三维三相Potts模型在三外磁场中发生一阶和二阶相变以及在平滑过渡区域时的广义磁化系数的波动情况。

3、在三维三态Potts模型相边界附近的广义磁化系数

在三维三态Potts模型中，我们首先选择三个固定的外磁场。他们分别处在一阶相变点，二阶相变点以及crossover，即，在一阶相变点的非常小的外磁场，在临界点出磁场强度为，以及在crossover处磁场强度为。这些点的位置在图1（b）中已分别用黑色，红色以及蓝色的箭头标出。

对每一个外磁场，我们对值进行了从3到6的模拟。对每一对，我们模拟出50000对独立的组合。他们被用于Ferrenberg-Swendsen重加权分析中，用来计算可观测的量（在中间参数值中，其中，仿真模拟用的是Wolff聚类算法和螺旋形边界条件）。对于每一种情况，我们进行了不同晶格大小的模拟()。

图2 系统尺度分别为L=40,50,60，70，外磁场分别为h=0.000（a），0.000775（b），0.002（c）时，

chi;₂ 随T/T_C 的变化

在相变温度附近，磁场分别为=0.0005,0.000775,0.002，二阶磁化系数随温度的变化分别如图2（a）-（c）所示，从图中可以看出，在一阶相变（图2（a）），二阶相变（图2（b））以及crossover（图2（c）），的图像都出现了一个峰状结构。正如我们所知道的，对于一阶相变，在无限大的系统中磁化系数是一个函数。在二阶相变处是发散的。有限大小的系统使得在两种类型的相变中磁化系数成为了一个有限的峰。

随着系统大小的增加，峰的位置逐渐向高温方向移动。在每一张分图里，被设置在最大的系统（）的极大值处。在图2（a）-（c）中，分别处在0.54979,0.549385以及0.54769处 。

图2（a）-（c）的不同之处在于峰的高度和宽度。从图2（a）到（c），随着外磁场的增强，峰的高度逐渐降低但宽度逐渐增加。很明显的可以看出，图2（a）和2（b）中的峰比图2（c）中更窄更尖。这意味着，尽管在三个不同的相变位置处的形状比较相似，但相对于crossover，一阶和二阶相变处更加相似。

在同一张分图中，随着系统体积的增加，峰也变得越来越高，越来越尖。很明显的可以看出，随着外磁场的增强，系统大小对峰的影响越来越小，特别是在图2（c）中，不同大小的系统之间峰的形状很相似。

图3 系统尺度分别为L=40,50,60，70，外磁场分别为h=0.000（a），0.000775（b），0.002（c）时，

chi;₃ 随T/T_C 的变化

在相变温度附近，磁场分别为=0.0005,0.000775,0.002，三阶磁化系数随温度的变化分别如图3（a）-（c）所示。很明显的可以看出在三幅图片中的每条曲线的基本形状十分相似。在温度从低于相变温度上升到高于相变温度的过程中，三阶磁化系数也在负数和正数之间振荡。三阶磁化系数比二阶磁化系数在相变温度附近振荡得更加频繁剧烈。三阶磁化系数对外磁场及系统大小的依赖性同二阶磁化系数一样。

图4 系统尺度分别为L=40,50,60，70，外磁场分别为h=0.000（a），0.000775（b），0.002（c）时，

chi;₄ 随T/T_C 的变化

四阶磁化率的图像绘于图4中。当磁场强度为（图4（a））以及（图4（b））时，在临界温度的两侧分别有一个正值的波峰，而且在两个正波峰之间有一个负值的波谷。尽管这种构造在磁场强度为时表现的不是十分明显，但也同样显示了出来：在crossover处的波动比在一阶和二阶相变处的波动更加平缓一些。

图5 系统尺度分别为L=40,50,60，70，外磁场分别为h=0.000（a），0.000775（b），0.002（c）时，

chi;₅ 随T/T_C 的变化

图6 系统尺度分别为L=40,50,60，70，外磁场分别为h=0.000（a），0.000775（b），0.002（c）时，

chi;₆ 随T/T_C 的变化

五阶和六阶磁化系数的图像分别显示图5和图6中。相比于三阶磁化系数，五阶磁化系数有一个正值的波峰和一个负值的波谷。但相同的是，在相变温度处，和的值都趋近于0。的波动情况和正好相反，在相变温度的两侧分别有一个波谷，在两个波谷之间有一个正值的波峰。磁化系数的阶越高，在它的组成中就会有越多的波峰和波谷。

从图2到图6中可以清楚地看出，在相变温度附近，二阶到六阶磁化系数在三个外磁场中总的趋势很相像。二阶磁化系数中有一个波峰，三阶到六阶磁化系数中出现了符号的改变以及涨落。这些现象表明非单调行为或者符号的改变不仅与临界涨落有关，而且和有限尺度系统中一阶相变的涨落和crossover有关。

然而，定性的来讲，在外磁场的转折点处的波动情况明显比在一阶和二阶相变处的波动平缓。除此之外，所有的广义磁化系数与对系统的大小的依赖都比较弱。事实上，从图2至图6中的分图（a）到（c）中可以看出，随着外磁场强度的增加，系统大小对外磁场的依赖逐渐变弱。 在一阶相变和二阶相变一阶crossover处，广义磁化率的有限尺度标度行为是很有意思的事。

4.广义磁化率的有限尺度标度律

正如我们所知道的，在二阶相变的临界温度附近，所有可观测的热力学量，比如磁化的磁化系数，和系统的尺度近似的满足下列关系：

和分别是代表磁化系数临界行为的临界指数和关联长度。在这里，是描述温度相对于临界点温度的偏离程度。在临界点温度处，上式简化为

临界指数是通用的，由普适类决定。

对于一阶相变，有限尺度标度方程仍然适用，但标度指数仅仅由空间维数决定。在crossover处，标度指数为0，可观测量独立于系统尺度的大小。

然而，对于自旋模型，比如三维三态Potts模型， 有限尺度标度律对临界区域磁化系数的最大值的预测是正确的。因此，对（7）式取对数可表示为

为常数。这是一条关于的直线，直线的斜率刚好是标度指数。

图7. 和的关系（a），和的关系（b），和的关系（c），和的关系（d）

在图7（a）中，我们分别用黑色实心圆形线，红色实心星形线和蓝色实心倒三角线画出了在系统尺度分别为，，时关于的函数。这表明同一颜色的点完美的拟合在同一条直线上。因此，在三维三态Potts模型中，给定一个外磁场，磁化系数的波峰可以很好的用有限尺度标度律来描述，例如（7）式和（8）式。

图7（a）中三条实线的斜率（）在图7（b）中分别用黑色实心圆，红色实心星形和蓝色实心倒三角表示出来。图7（b）中的黑色，红色和蓝色虚线分别表示一阶相变（），三维伊辛模型()和crossover的预期指数。

在处，预期指数小于3.这和之的指示一样。在三维三态Potts模型中，随着外磁场强度的向临界值的增加，一阶相变变得越来越弱。当一阶相变变得非常弱的时候，在一阶相变区域将不会出现类型的扩展，但会出现二阶类型的扩展。

在处，临界指数非常接近伊辛模型的临界指数。三维三态Potts模型的临界点属于三维伊辛普适性，在这里，临界点行为由两个相关联的量决定：约化温度和约化磁场。在临界点附近（），有一个伊辛标度性的线性变换

，

，

混合参数和的定义参见[28]。尽管磁化强度失去了它衡量越化磁场大小的意义，但是指数及它的磁化系数非常接近临界指数比（），就像他们在三维伊辛普适类中的一样。

在处，对crossover来讲预期指数微微大于0。对于系统尺度的依赖依旧很小。对于crossover，它需要大体积才能饱和。随着外磁场的增强，即深入到crossover区域，在小体积时就会出现饱和。因此，在时，现在从L=40到L=70之间的体积大小依然不足够大到独立于体积大小。

在图4中可以明显的看出在相变温度附近，，四阶磁化系数有一个负的极小值。如果有限尺度律的纵深存在，那它可能用下式表示：

.

其中，标度指数的一阶相变和crossover处的值分别为和0。对于二阶相变，标度指数通常介于和0之间。标度指数还可以有对（10）式取对数得到：

,

其中为常数。

在图7（c）中，我们分别用黑色实心圆形线，红色实心星形线和蓝色实心倒三角线画出了在系统尺度分别为，，时关于的函数。同一颜色的点所表现的线性行为与图7（a）中类似。

图7（c）中三条实线的斜率（）在图7（d）中分别用黑色实心圆，红色实心星形和蓝色实心倒三角表示出来。他们的大小分别是，以及。从上到下的三条虚线分别表示一阶相变对应的指数（），三维伊辛模型对应的指数（）以及crossover对应的指数。黑色圆处在上面两条线之间，红色星星非常靠近中间的线，蓝色倒三角非常接近底部的线。因此，指数从略小于9减小到伊辛模型中的临界指数比，最终在crossover处趋向于0，和图7（b）中磁化系数的变化情况相似。

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