校准中的测量不确定度

1 简介

1.1

本文将确定校准中的测量不确定度评估与校准凭证中的不确定性说明的有关原则和要求。这种处理方法将作为一般标准以适应校准的所有领域。这种一般性方法需要具体的建议来补充说明，使得信息更具适用性。为发展此补充说明，需要遵循本文规定的一般性原则，以确保不同领域之间的协调。

1.2

本文中的方法是依据《测量不确定度指标》（以国际计量局、国际电工委员会、国际临床化学联合会、国际标准化组织、国际纯粹与应用化学联合会、国际纯粹与应用物理联合会和国际法制计量组织的名义于1993年首次联合发表）。为评估和表示测量中的不确定度所建立的一般规则，可以被应用于大部分的物理测量领域。本文致力于寻找实验室校准测量的最适用方式，以及通过一种明确、统一的途径来评估和表示测量不确定度。它包括以下几方面：

● 基于本文的定义；

● 评估输入量的测量不确定度方法；

● 输出量的测量不确定度与输入量的测量不确定度的关系；

● 扩大输出量的测量不确定性；

● 测量不确定度的说明；

● 测量不确定度的逐步计算方法。

一般性方法针对具体测量问题的适用性将通过具体例子体现。测量不确定度的评估也应用于好几篇提供校准方式指标的评估保证级文献中，其中部分文献中包括具体的例子。

1.3

在评估保证级中，最佳测量能力（总是指一个可被测得的特定量）被定义为：实验室在其认可范围内，当对近乎理想的测量标准（用于定义、实现、保存或复现某量的单位或其一个值或多个值）进行近乎常规的校准时，可以达到的最小测量不确定度，或当对近乎理想的测量仪器（用于测量某量）进行近乎常规的校准时，可以达到的最小测量不确定度。对获得认可的校准实验室最佳测量能力的评定，必须建立在本文描述的方法基础之上，通常应得到实验证据的支持或确认。为有助于认可组织对最佳测量能力的评定，附录A就最佳测量能力做了进一步说明。

2.概要与定义

【注】正文中联系上下文的专门名词，将在文章第一次出现时加粗表示。附录B中将列出专业术语表及其所引文献。

2.1

只有同时包含被测变量的值和与其相关联的测量不确定度，测量结果的说明才是完整的。本文中所有不确定量均被视为随机变量，其中包括被测变量值的影响量。

2.2

测量不确定度作为一个与测量结果相关的参数，用以描述影响被测变量的值的离散度。在不产生歧义的前提下，本文中将用短术语“不确定度”替代“测量不确定度”。测量中的典型不确定度来源详见列表C。

2.3

被测变量以测量中的特定量为准。在校准中通常只处理一个被测变量或输出值Y（根据函数关系以及一系列输入值得出）。

函数关系： （2.1）

模型函数表示测量过程和评估方法。它描述了如何从输入值中得到输出值。绝大多数情况下，它是一个解析表达式，但也可能是一组包含修正和修正因子的表达式，这将产生更复杂的关系。此外,可能是由实验决定，可能是以评估数值形式存在的计算机运算结果，也可能是这二者的结合。

2.4

一系列的输入值X根据数量和既定相关不确定度可被分成两类：

（a）评估和相关不确定度直接取决于当前测量的数值。这些数值可以从单一观察结果、重复观察结果或基于经验的判断中获得。环境温度、气压和湿度等因素可能会涉及到仪器的读数和影响量的修正。

（b）评估和相关不确定度取决于来自外源测量的数值，比如来自于校准测量标准、获得认证的参考资料或手册上的参考数据。

2.5

被测变量的估计值，即用表示的输出估计值，由（2.1）式用输入估计值对应输入值得到。

（2.2）

据悉输入值是最好的估计值，已修正模型的所有显著影响因子。如果不是，会以单独输入值的形式介绍必要的修正法。

2.6

随机变量分布的方差或方差的正的平方根，也叫做标准差，可以衡量数值离散程度。与输出评估值或测量结果y相关的标准测量不确定度，用u(y)表示，是被测变量Y的标准差。估计值的标准不确定度与估计值有着相同的维数。如果估计值为零的话这个概念不能被使用。

3.输入估计值的测量不确定度评定

3.1一般情况

3.1.1

与输入估计值相关的测量不确定度根据“A类”或“B类”评定模式被评定。用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度，称为A类不确定度评定。这种情况下，标准不确定度就是实验标准方差，由平均化过程或适当的回归分析产生。用对观测列进行除统计分析以外的方法来评定的标准不确定度，称为B类不确定度评定。这种情况下，标准不确定度的评估要基于一些其他科学性知识。

【注】在校准中很少出现所有可能值都趋向于一个极值的情况。一个著名的案例就是所谓的余弦误差。这种特殊案例的应对方法详见参考文献1。

3.2 A类标准不确定度评定

3.2.1

当其中一个输入量是在同一测量条件下得到的几个独立的观察值时，采用A类标准不确定度评定。如果测量过程有足够的分辨率，得到的数据就会有可观测的扩散现象。

3.2.2

将反复被测变量输入值设为。进行次独立观察统计（），的估计值为，算术均数或个别观测值的平均值记做（）。

（3.1）

的相关测量不确定度有下列几种评估方法：

（a）潜在的概率分布方差评估值是的实验方差：

得到的正的平方根称为实验标准差。

算术均数的最优方差评估值即平均实验方差：

得到的正的平方根称为平均实验标准差。

标准不确定度即平均实验标准差：

（3.4）

（b）对于特征明显、在统计控制下的测量值，相比从有限观测值中得到的估计标准差，组合估计方差可以更好的描述离散度。

在这种情况下，输入值是由算术均数和独立观测值次数确定的，平均方差可由下式评估得到：

（3.5）

标准不确定度由（3.4）式推导得出。

3.3 B类标准不确定度评定

3.3.1

B类标准不确定度评定是对输入值的评估值进行评定，而不是通过对一系列观测值的统计分析进行评定。标准不确定度由科学判断（基于可能变化的所有可用信息 ）来评定。这类数据可能来自：

• 以前的测量数据；
• 经验或材料和工具的相关属性知识；
• 制造商的规格；
• 校准中提供的数据；
• 手册中参考数据的不确定性。

3.3.2

B类标准测量不确定度评定时中可用信息的合理使用，需要基于经验和常识。这可以通过实践学习来获得。B类标准不确定度评定与A类标准不确定度评定同样可靠，尤其是在A类评定仅仅依赖于相当少的独立观测数据的测量情况下。必须分辨下列情况：

（a）当只有一个单一值作为。

比如单个被测量的值，早前测量的合成值，来自文献的参考值，或者纠正值，这些将用作。

标准不确定度是已给定的。否则需要从明确的不确定性数据计算得到。如果无法获得这类数据，不确定度必须基于经验计算得出。

（b）基于理论和经验，当概率分布被设为，合理的期望或被期望值和分布的方差平方根分别作为评估值和与其相关的标准不确定度。

（c）对于，如果只有上限和下限能被评估（比如测量仪器的制作规格、温度范围、凑整或阶段误差引起的数据自动减少），在上下限之间的恒定概率密度的概率分布 （矩形概率密度）设为输入值的可能变化。根据上述（b）得出：

评估值： （3.6）

标准不确定度的平方： （3.7）

如果上下限之间的差值达到2a，（3.7）式需满足

（3.8）

4.输出估计值的标准不确定度计算

4.1

对于不相关输入值，其标准不确定度的平方为：

（4.1）

与标准不确定度相关联，因此标准不确定度又与输入估计值相关联。

（4.2）

是与相关的灵敏度系数，也就是模型函数对的偏导数。

（4.3）

4.2

灵敏度系数用以描述输入评估值的变化对输出评估值的影响程度。可通过（4.3）式或经过数值计算，将它从模型函数中评估得到，即通过计算输出评估值随输入评估值在和之间变化的变化，将除以产生的差异值认定为。有些时候通过对等的重复测量找出输出评估值的变化会更为恰当。

4.3

然而总为正数，由（4.2）式得出的可能为正数也可能为负数，其正负取决于灵敏度系数的符号。的正负还必须考虑进相关输入量的情况，详见附录D的方程（D4）。

4.4

如果模型函数是输入量的和或差

（4.4）

根据式（2.2），输出估计值由输入估计值的和或差得到

（4.5）

而灵敏度系数等于时，式（4.1）变为

（4.6）

4.5

如果模型函数是输入量的乘积或商

（4.7）

再次输出评估值是输入估计值的相应结果

（4.8）

这种情况下灵敏度系数等于，如果运用相对标准不确定度和，由式（4.1）可得到一个类似式（4.6）的表达式

（4.9）

4.6

如果两个输入量和在某种程度上是相关的，也就是说，如果它们以某种方式相互依赖，那么，它们的协方差对得出不确定度有帮助。可详见附录D。考虑相关性的影响的能力取决于对测量过程的认知和对输入量之间的相互依赖性的判断。一般来说，我们要记住忽略输入量之间的相关性会导致标准测量不确定度的错误评定。

4.7

两个输入量和的估计值协方差在下列情况下可视为零或忽略不计：

（a）输入量和相互独立，比方说，由于在不同的独立实验中多次且不同时被观测到，或是由于它们代表大量相互独立的评估量的合成值；

（b）输入量和中任意一个为常数；

（c）无法提供可以证明输入量和之间存在相关性的信息。

有时相关性可以通过选择合适的模型函数来消除。

4.8

测量的不确定性分析（也称为测量的不确定性预测）需要一个呈现不确定性所有来源、相关测量标准不确定度以及评估方法的列表。对于重复测量，观测值的数目也需要说明。为清晰起见，与分析有关的数据将以表格的形式呈现。表格中的每个量（至少是估计值、测量标准不确定度、灵敏度系数和不确定度的不同关联值）需要详细说明。每个数量的维度也会在表格中以数值形式给出说明。

4.9

下面将给出一个适用于相互独立的输入量的例子，如表4.1所示。测量标准不确定度结果位于表格右下角，是表格右侧所有不确定关联度的和的平方根。表格的灰色部分没有填写。

表4.1 相关量有序安排

数量	估计值	标准不确定度	灵敏度系数	标准不确定关联度

5.扩展测量不确定度

5.1

EAL已决定由EAL所认可的校准实验室规定一个有关的扩展测量不确定度， 由标准不确定度与覆盖系数相乘得到。

（5.1）当被测量变量服从正态（高斯）分布，以及输出值的标准不确定度有足够可靠性，这时标准覆盖因子。指定的扩展不确定度对应约95%的覆盖率。这些条件可以满足在校准工作中遇到的绝大多数情况。

5.2

正态分布的假设并不能总是在实验上被轻易验证。然而，当几个（即）不确定成分（来自独立量规则的概率分布，如正态分布或矩阵分布）使得输出值相关的标准不确定度数量相同，满足中心极限定理的条件，可以近似认为输出量的分布服从正态分布。

5.3

输出值所指定标准不确定度的可靠性由它的实际自由度决定（详见附件E）。然

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