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通过一个简单而直观的推导了解卡尔曼滤波的基础

本文利用了一个简单而直观地推到来了解kalman滤波器。目的是是学生理解这种方法而不需要通过很强的数字水平。立即kalman滤波的最复杂的数学水平是推导两高斯函数相乘并简化到一个简洁的形式。

Kalman滤波器至今已有50多年历史，但它仍是在常用的数据融合算法中使用最多和最广泛的算法之一。它的巨大成功是因其计算量小，且使用递归性质，是一维线性高斯误差系统的最优估计算法。卡尔曼滤波器的典型用途包括平滑噪声数据，并提供参数估计，全球定位系统接收器，锁相环在无线电设备，笔记本电脑触控板的平滑输出等。

从理论的角度来看，卡尔曼滤波是允许在一个线性动力系统的一种算法，这是一个贝叶斯模型类似于一个隐藏的马尔可夫模型，但其中的潜变量的状态空间是连续的，所有的潜在和观察到的变量有高斯分布（往往是多元高斯分布）。本文目的是让这些感到迷惑的人们，通过一个简单的和直观的推导，了解卡尔曼滤波。

延伸阅读

卡尔曼滤波器[ 2 ]（及其变型，如扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波[ 3 ] [ 4 ]）是信息处理领域中最著名的和流行的数据融合算法。早期最著名的使用卡尔曼滤波是在阿波罗导航计算机，把阿姆斯特朗送上月球，更重要的是又带他回来来。今天，几乎用着每一个卫星导航设备，每一个智能手机，和许多电脑游戏中。

虽然卡尔曼滤波诞生已有50多年，但仍然是在现今应用中最重要的数据融合算法之一。

卡尔曼滤波器通常使用矢量代数的最小均方估计[ 5 ]，一个适合于数学专业的学生理解，但对非数学专业学生不是一个很容易掌握的学科，需要很强的数学知识。卡尔曼滤波器是第一原则，是考虑一个简单的物理例子，并利用高斯分布的一个关键属性，特别是，一个高斯分布是由另一个高斯分布的结果。

先决条件

这篇文章对于刚接触卡尔曼滤波器的学生来说用一个简单的方法去理解它，不是一个完整的教程，但其目的是提供一个简单的方法来让非数学专业的学生更好的理解的卡尔曼滤波的概念，。读者预计将熟悉与卡尔曼滤波，如状态向量和协方差矩阵的矢量符号和术语。这篇文章的目的是在那些谁需要教的卡尔曼滤波器，以其他人在一个简单而直观的方式，或对那些已经有一些经验的卡尔曼滤波器，但可能无法充分了解其基础。这篇文章不是一个完整的和独立的教育工具，为完整的新手，因为这将需要一个章节，而不是几页来介绍。

问题描述

Kalman滤波模型假设系统在时间t的状态是根据在时间t-1前状态方程（1）推导而来

（1）

这里：

XT是在t时刻包含比例的系统状态向量（例如，位置，速度，方向）

UT是含有控制输入向量（转向角度、油门、制动力）

FT是状态转移矩阵，将各系统状态参数在时间t-1在t时刻的系统状态的影响（例如，在时间t-1影响在t时刻的位置和速度）

BT是控制输入矩阵适用于每一个控制输入参数的影响在状态向量的向量UT（例如，采用节流阀设置在系统速度和位置的影响）

wt在状态向量中的每个参数的过程噪声向量。假设过程噪声可从平均一零多元正态分布的协方差矩阵的协方差QT。

Fk 是作用在 Xkminus;1 上的状态变换模型（/矩阵/矢量）。

Bk 是作用在控制器向量uk上的输入－控制模型。

Wk 是过程噪声，并假定其符合均值为零，协方差矩阵为Qk的多元正态分布

该系统观测模型（2）

（2）

Zt是观测向量

Ht将状态向量参数映射到测量域的转移矩阵

vk 是观测噪声，其均值为零，协方差矩阵为Rk,且服从正态分布。

在推导过程中，我们将考虑一个简单的一维跟踪问题，特别是沿铁路沿线的列车（见图1）。因此，我们可以考虑在这个问题的例子向量和矩阵。状态向量xt包含列车的位置和速度。

火车司机可能施加制动或加速输入到系统中，我们会考虑在这里作为所施加的力FT和列车质量m.这些控制信息是存储在控制向量UT中

在时间∆T通过刹车或加油门过程中施加的力（T-1和t之间的时间）和列车的位置和速度的关系可以由以下方程给出：

这个线性方程可被写成矩阵形式：

通过与（1）的比较，我们可以看到这个式子：

和

该系统的真实状态，XT不能被直接观察到的，和卡尔曼滤波器提供了一种算法来确定一个估计X T T相结合的系统模型和噪声测量某些参数或参数的线性函数。对状态向量的兴趣参数估计现在提供的概率密度函数（PDF），而不是离散的值。Kalman滤波是基于高斯PDF文件，将成为明确以下的推导下面的“解决方案”部分。为了充分描述的高斯函数，我们需要知道他们的方差和协方差，这些存储在协方差矩阵的PT。沿主对角线的铂的条款是与相应的条款在状态向量的方差。断开PT对角线方面提供项之间的协方差的状态向量。在一个很好的模型，一维线性系统的测量误差从一零个平均高斯分布的一维线性系统，卡尔曼滤波器已被证明是最佳估计[ 1 ]。在这篇文章的其余部分，我们将推导卡尔曼滤波方程，使我们能够递归地计算不相结合的先验知识，从系统模型的预测，和噪声测量。

卡尔曼滤波算法包括预测和测量更新。预测阶段的标准卡尔曼滤波方程

QT是过程噪声协方差矩阵和噪声控制的输入。在上述讨论中，得到了方程（3）。我们可以得出（4）如下。与预测t xt t与方差；1一个未知的真值XT给出

并考虑（3）和（1）的区别：

注意到状态估计误差和过程噪声是不相关的

测量更新方程：

（5）

（6）

（7）

在这篇文章的其余部分，我们将从第一个原理出发，推导出测量更新方程（5）-（7）

解决方案

卡尔曼滤波器将在这里推导出考虑一个简单的一维跟踪问题，特别是一列火车正在沿着一条铁路线。在每一个测量时代，我们想知道的最佳估计的位置的火车（或更准确地说，在火车上安装的无线电天线的位置）。信息可从个来源：1）预测的基础上的最后一个已知的位置和速度的火车和2）测量从无线电测距系统部署在轨道侧。从预测和测量的信息相结合，以提供最佳的估计的位置的列车。该系统以图形方式显示在图1

系统的初始状态（在时间= 0秒）是已知的一个合理的精度，如图2所示。火车的位置是由一个高斯PDF了。在下一个时代（1），我们可以估计火车的新位置，根据已知的限制，如它的位置和速度在0，它的最大可能的加速和减速等，在实践中，我们可能有一些知识的控制输入制动或油门的驱动程序。在任何情况下，我们的火车的新位置的预测，表示在图3的一种新的均值和方差的高斯PDF。在数学上，这一步代表的是（1）。方差增加[见（2）]，代表我们的减少必然在我们的位置精度的估计相比，T = 0，由于在加速或减速，并从时间t = 0时刻t = 1任何过程噪声的不确定性。

在t = 1，我们也进行了测量使用无线电定位系统的列车的位置，这是图4中的蓝色代表高斯PDF。我们的知识，从预测和测量的最佳估计，我们可以提供的列车的位置。这是乘以相应的PDF一起完成了两。这是图5中的绿色PDF为代表。

在这一点上利用高斯函数的一个关键属性：高斯函数的乘积是另一个高斯函数。这很关键，因为它允许高斯PDF无限数量将成倍增加随着时间的推移，但产生的功能并不复杂或数量的增加；每一次的时代后，新的PDF是完全由一个高斯函数。这是优雅的递归属性的卡尔曼滤波器的关键。

上面图的描述，现在又被认为是数学推导卡尔曼滤波测量更新方程组。

图3中的红色高斯函数表示的预测是由下式给出：

（8）

图4中的蓝色的高斯函数表示的测量给出的PDF

所提供的信息，由这两个PDF乘以两者结合在一起，即融合，考虑测量的预测结合起来（见图5）。代表从预测和测量的信息融合的新的PDF，和我们目前最好的估计系统，因此，通过对这两个高斯函数的乘积

（10）

这个新函数的二次项可以扩展，然后用高斯形式重写整个表达式

这里

（12）
（13）

这些最后的2个方程代表卡尔曼滤波算法的测量更新步骤，将显示如下。然而，为了呈现更一般的情况，我们需要考虑一个扩展的例子。

在上面的例子中，它被假定的预测和测量是在相同的坐标系和在相同的单位。这导致了一个特别简明的对方程的预测和测量更新阶段。重要的是要注意，然而，在现实中的函数通常需要映射到相同的域的预测和测量。在一个更现实的延伸，我们的例子，火车的位置将直接预测作为一个新的距离，沿铁路线的单位米，但飞行时间测量记录在单位秒。允许测量PDF预测是相乘，必须转换成其他的域，它是地图的预测到测量域标准的做法，通过变换矩阵HT。

现在我们重新审视（8）和（9），而不是让Y1和Y2都表示值沿铁路轨道米，我们考虑分布Y2代表飞行传播无线信号从发射机放置在x = 0在火车上的天线在几秒钟的时间。空间预测PDF Y1通过缩放功能的C转换成测量域，光的速度。方程（8）和（9），因此必须改写为

（14）

在测量域中，两个分布都被定义，无线电信号沿着时间的“轴”传播，而测量单元则是第二。

像以前一样，我们现在找到

用H=1/c、代替得

类似的熔融方差估计为

（18）

我们现在可以比较标准向量和矩阵中应用于卡尔曼滤波算法的优劣：

结论

卡尔曼滤波器可以使用一个简单的推导，涉及标量数学，基本代数运算，和一个易于遵循的思想实验。这种方法应该允许学生缺乏一个强大的数学兴趣，了解的核心数学基础的卡尔曼滤波器在一个直观的方式和理解的递归属性的过滤器提供了独特的乘性高斯函数。

作者

Ramsey Faragher (ramsey@cantab.net) 英国BAE系统公司先进技术中心的首席科学家。

参考文献

[1] B. D. O. Anderson and J. B. Moore, Optimal Filtering. New York: Dover, 2005.

[2] R. E. Kalman, “A new approach to linear filtering and prediction problems,” J. Basic Eng., vol. 82, no. 1, pp. 35–45, Mar. 1960.

[3] P. D. Groves, Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems. Norwood, MA: Artech House, 2008.

[4] S. J. Julier and J. K. Uhlmann, “Unscented filtering and nonlinear estimation,” Proc. IEEE, vol. 92, no. 3, pp. 401–422, 2004.

[5] J. Bibby and H. Toutenburg, Prediction and Improved Estimation in Linear Models. New York: Wiley, 1977.

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