一对量子比特的纠缠外文翻译资料

一对量子比特的纠缠

作者：Scott Hill，William K. Wootters

国籍：美国

出处：Physical Review Letters, 78(26):5022, 1997.

中文译文：

量子态的纠缠现象呈现出无法用经典方法解释的相关性。几十年来，作为量子力学的基础，纠缠一直是人们关注的焦点，尤其是量子力学的不可分性和对Bell不等式的违背。然而，近年来，它已经被视为一种重要的潜在应用，例如，量子计算机的预测能力就主要依赖于纠缠；量子密码方案的提出可以将信息纠缠到共享的秘密密钥。出于理论上和潜在的实践上的原因，量化纠缠正变得越来越有趣，就像我们量化其他资源，如能源和信息等。在这封信中，我们采用了最近提出的定量纠缠的定义，推导出了明确的公式用于一对二元量子系统（量子位）的某类状态的纠缠。

定义混合态的纠缠有点困难，尽管我们可以使用singlet态作为纠缠的基本单位，并将给定的混合态与singlet态联系起来。在混态的情况下，一个显著特征是，制备该混态所需的singlet态不一定与可从该态中提取的singlet态数量相同。在本文中，我们关注的是前一个量，前者给出了“形成纠缠”的定义。给定两个量子系统A和B的混合态rho;，考虑将rho;表示为纯态集合的所有可能方式。也就是说，我们考虑和相关的概率，使得

rho;的形成纠缠，E(rho;)，被定义为在所有这些系综中构成系综的纯态的平均纠缠的最小值

形成纠缠具有令人满意的性质，当且仅当所讨论的状态可以表示为纯态的混合时，它才为零。为了便于表达，我们将把形成纠缠简称为“纠缠”。

我们的出发点基于一对量子比特纯态的一个有用事实。我们首先定义了一个由以下四种状态组成的基矢（它们是具有特定相位的贝尔状态）：

我们使用了自旋 1/2来进行说明。当纯态利用这个基底进行表示时，如，它的纠缠可以用非常简单的方式用分量表示： 定义函数

其中H是二元熵函数。那么的纠缠是

C定义如下

C与系统的E一样，范围从零到一，并且与E单调相关，因此C本身也是一种纠缠的度量。我们将其命名为纠缠Concurrence度。当我们为给定的混态寻找具有最小平均纠缠的纯态系综时，我们的计划是寻找一组具有相同纠缠的态，也就是说它们都具有相同的Concurrence度。

关于这组基矢的另外两个事实值得强调。

1. 当密度矩阵为实的态用这组基矢表示时，其密度矩阵的状态集与广义Bell态的混合集相同（Horodecki 等人将这种混合称为“T 状态”）
2. 当密度矩阵为实的态用这组基矢表示时，进行的一组酉变换与独立作用于两个量子的变换相同。

碰巧我们的 E 公式可以方便地用矩阵 R 表示，它是由方程定义的rho;的函数

这里是rho;以这组基矢表示时的复共轭，即，为了了解R的含义，请注意TrR的范围从0到1，衡量与rho;间的“相等程度”，它反过来衡量rho;接近广义Bell混合态的程度。另外请注意，R的特征值在单独量子位的局部酉变换下是不变的，这一点使这些特征值特别适合成为纠缠公式的一部分，因为纠缠在此类变换下也必须是不变的。现在，我们陈述我们的主要结果。

定理——设rho;为任意两个具有不超过两个非零特征值的量子比特的密度矩阵。 令lambda;max 是R(rho;) 的最大特征值。 那么rho;的形成纠缠由下式给出

证明 ——设和是rho;的两个非零特征值对应的两个特征向量。定义 2times;2 矩阵 ，使得 ，其中。考虑一个任意的纯态 ，它可以写成的形式。如果表示为上述四基矢中的四向量，我们可以将改写为，并且

其中 是 在 基中的密度矩阵。

让我们定义函数

对于以 为基表示的任何密度矩阵 v，由式，如果 表示纯态，则 。现在， 是一个 2times;2 密度矩阵，因此可以写成泡利矩阵的实线性组合：。 将这种形式代入 得到表达式

其中

并且

因此， 定义在三维单位球体的表面和内部，即的值域空间。

M 是一个实对称矩阵，其特征值是和。 由于 M 具有两个正特征值和一个负特征值，在两个方向上是凸的，而在第三个方向上是凹的。为了证明上述定理，我们希望对于纯态 s存在一个函数等于，且在所有方向上都是凸的。考虑到这一点，我们定义

对于纯态 ()，它与 相同。 添加到的额外项实际上是将一个常数添加到 并将单位矩阵的倍数添加到。如果我们定义一个矩阵

以及一个常数

由此我们可以写作

中的添加项使 的所有特征值都为非负，而且其中之一为零。因此 是一个凸函数。由于 是与正特征值相关联的 的特征向量，并且与具有零特征值的特征向量正交，因此函数 沿后一个方向是常数。我们可以把函数 想象成一张向上弯曲成抛物线形状的纸；它沿直线达到最小值。此外，可以通过直接计算得 的最小值为零。在图 1 中，对于 和 的线性组合，我们表示出沿 g 为常数的曲面。其表面显示为具有椭圆形横截面的圆柱体。我们考虑的混合态 rho; 位于这些圆柱体之一上，并且可以分解为位于同一圆柱体上的两个纯态；也就是说，具有相同的 值。 （这两种状态通过平行于圆柱轴的直线连接到 rho;。）接下来的两段表明 rho; 的其他分解没有比这更小的平均纠缠。

图. 1. 球体表面表示 和 的所有纯叠加集，即 rho; 的特征向量。内部代表由这种叠加形成的所有混合态。椭圆柱体是常数 g 的表面，因此它们与球面的交点是常数纠缠的曲线。rho;本身位于垂直轴上，在极点 和 之间。 它的最小纠缠分解由与 rho;位于同一圆柱上的两个纯态组成。

任何将 r 分解为纯态的过程都可以看作是图 1 中球体表面上加权点的集合，其“质心”是表示rho;的点。这种系综的平均纠缠是整个系综上的平均值，因为 等于纯态 s 的纠缠。如果我们可以证明omega; 的函数 在球体内部是凸的，那么这个平均值不能小于 。 但是我们刚刚看到 rho; 可以分解成两个纯态 s，其中 与 相同，所以这证明 rho; 的纠缠等于。

事实上，不难证明上述所需的凸性。 函数是最小值为零的抛物线。因此，它的平方根是一种锥体，也是凸的。 函数是 x 的凸函数和单调递增函数。那么，根据凸函数的性质，是的凸函数。

我们因此找到了rho;的纠缠，只需用更简单的形式表达即可。 用rho;替换中的 并利用rho; 在基中为对角的事实，我们得到

其中和是 R 的非零特征值。类似地，对于中的另一项，

使得.取平方根，我们得到结果

对于两个非零特征值的情况，该表达式等效于 这样就完成了定理的证明。

我们有三个证据可以表明，上式对于两个量子位的系统可能非常普遍。

(1) 对于混合贝尔态，其混合概率 p₁,hellip;,p₄，Bennett 已经证明其纠缠等于E(c)，c由max(0, 2p_max-1) 给出。但在这种情况下，R 等于rho;，因此我们的表达式等于他们的表达式。因此，我们的公式也适用于这类密度矩阵。

(2) Peres 和 Horodecki 提供了一种基于部分转置的检验方法，用于确定两个量子位的给定状态是否具有零或非零的E。我们已将Peres-Horodecki 测试和我们自己的公式应用于数千个随机选择的密度矩阵，并在各种情况下找到了它们之间的一致性。我们的定理中的方程给出Egt;0当且仅当Peres Horodecki 测试表明存在纠缠，这种情况大约占了三分之一。

(3) 对于25个随机选择的具有非零纠缠的密度矩阵的每一个，我们已经探索了密度矩阵到纯态的所有分解空间，结果都限制在四个基矢的集合中。在每种情况下，数值上最小化系综平均纠缠的结果与我们的公式预测的结果一致。

如果我们的公式对所有状态都正确，那么它将大大简化对纠缠的研究。诸如“可蒸馏的纠缠”是否等于形成纠缠，即是否可以提取出与组成该状态一样多的纠缠等问题，如果对后者的数量有明确的公式，那么这个问题会更容易回答。同时也可以想象，我们的结果可以推广到具有更大状态空间的系统，例如一对纠缠的n级原子。在想象所有可能的情况时，注意到R的形式与 Bures、Uhlmann 和 Jozsa 的“混合状态保真度”有很多共同点，这对于双量子位系统来说并不特殊。

附：外文原文

Entanglement of a Pair of Quantum Bits

Entanglement is the potential of quantum states to exhibit correlations that cannot be accounted for classically. For decades, entanglement has been the focus of much work in the foundations of quantum mechanics, being associated particularly with quantum nonseparability and the violation of Bellrsquo;s inequalities. In recent years, however, it has begun to be viewed also as a potentially useful resource. The predicted capabilities of a quantum computer, for example, rely crucially on entanglement, and a proposed quantum cryptographic scheme converts shared entanglement into a shared secret key. For both theoretical and potentially practical reasons, it has become interesting to quantify entanglement, just as we quantify other resources such as energy and information. In this Letter we adopt a recently proposed quantitative definition of entanglement and derive an explicit formula for the entanglement of a large class of states of a pair of binary quantum systems (qubits).

It is somewhat harder to define the entanglement of mixed states, though again one can use the singlet as the basic unit of entanglement and relate the given mixed state to singlets. The new feature in the case of mixed states is that the number of singlets required to create the state is not necessarily the same as the number of singlets one can extract from the state. In this paper we focus on the former quantity, which leads to the following definition of “entanglement of formation”. Given a mixed state rho; of two quantum systems A and B, consider all possible ways of expressing rho; as an ensemble of pure states. That is, we consider states and associated probabilities such that

The entanglement of formation of rho;, E(rho;), is defined as the minimum, over all such ensembles, of the average entanglement of the pure states making up the ensemble

Entanglement of formation has the satisfying property that it is zero if and only if the state

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