本科毕业设计（论文）
外文翻译
在驱动场下随机场伊辛模型中的短时畴壁动力学
作者：N. J. Zhou, B. Zheng,* and Y. Y. He
国籍：中华人民共和国
出处：PHYSICAL REVIEW B 80, 134425 (2009)
摘要：本文利用蒙特卡洛方法，研究二维随机场伊辛模型在驱动外场作用下的畴壁弛豫动力学。作者观察到了畴壁的粗糙化过程，并严格检验了钉扎相变中的短时动力学行为。基于短时动力学的标度形式，我们准确地确定了过渡场、静态和动态指数以及局部和全局粗糙度指数。与通常的假设相反，模拟结果表明畴壁界面的运动不属于Edwards-Wilkinson方程的普适类。而且由于悬突的动态影响，畴壁界面表现出固有的反常尺度和空间多尺度行为，这与实验现象相符合。
一、介绍
近年来，无序介质中弹性系统的动力学一直是理论和实验研究的热点。例如固体中的电荷或自旋密度波、第二类超导体的涡旋格点、磁性薄膜的磁化反转、电子的Wigner晶体、多孔介质中流体的渗透[1-5]、固体中的裂缝扩散、无序底物上液体的浸润等等。这些系统的一个重要特征是在零温度下，无序介质中的驱动界面表现出了钉扎相变[6-16]。磁畴壁动力学是一个重要课题，特别是在磁性器件、纳米材料、薄膜和半导体中[5,17-22]。在无序磁性系统中，由恒定外场H驱动的钉扎相变是一个二级相变，其序参数是畴壁运动速度v。如果施加一个随时间变化的外场H(t)，或者引入一个非零温度，畴壁会表现出不同的运动状态和动态的相变这些现象都与钉扎相变有关[19-24]。
目前，有关铁磁和铁电材料中畴壁动力学理论研究的方法，通常是基于带有淬火噪音的的Edwards-Wilkinson方程（QEW）[12-16,23-25]。QEW方程是一个唯象模型，不包括任何微观相互作用，即用一条弹性弦在无序介质中的运动来描述二维系统中的畴壁运动。一方面，在钉扎相变中，人们期望得到粗糙度指数 =1，而这似乎在局部粗糙度指数的数值测量中得到了证实 ，例如对高度相关函数或局部宽度函数的测量[11,26]。另一方面，通过对全局宽度函数测量得到的全局粗糙度指数约为1.25。最近用重整化群的方法，在二圈层近似下得到=1.43[11]。然而，粗糙度指数gt;1，就表明弹性弦不再是单值和一维(1D)的了，这体现QEW方程的不自洽性[9]。此外大多数实验得到lt;1[17,18,20]。
为了进一步理解畴壁运动，我们应该运用基于材料的微观结构和相互作用建立的晶格模型。它不仅可以避免不自洽性，揭示新的普遍类，还可以与实验进行更贴近的比较。在驱动外场作用下的随机场伊辛模型(DRFIM)就是一个候选模型。在零温度或者更低温度下，我们对其静止状态的标度行为进行了模拟，所得到的静态临界指数与通过QEW方程的所得到的指数相差不大 [7-8,30,31]。长期以来，人们期望QEW方程和DRFIM模型属于同一个的普适类。然而，对于DRFIM模型来说，由于严重的临界慢化，准确地确定了相变外场Hc和临界指数是非常困难的。尤其是畴壁的粗糙化动力学很少被触及，以及动态指数z和粗糙化指数和也还没有得到。所以我们还不清楚，QEW方程和DRFIM模型是否是同一个的普适类，也不清楚是否抑或其中一个或两个正确地描述了实验中的畴壁动力学。
近年来，在远离平衡态的临界动力学方面的研究取得了很大进展[32-35]。虽然在时间演化开始时，空间相关长度还是较短的，但发散相关时间导致了一种动态标度形式。基于短时动力学的标度形式，一种确定动态和静态临界指数的新方法被提出[34,36]。由于测量是在短时区域内进行的，因此不会受到临界慢化的影响。近几年，约瑟夫森结阵列和老化现象的理论和数值研究得到了广泛的应用和发展[37-44]。并且，最近在有序无序相变中发现了畴壁的粗糙化过程[45-46]。在模拟和实验中，我们也注意到了钉扎相变中畴壁弛豫的短时行为[14,47]。然而，短时动力学方法还没有被系统地用于研究在零温度或者更低温情况下的畴壁运动的相变情况，比如钉扎相变和蠕动弛豫相变[20-21,23-24]。
本文的目的是用短时动力学方法研究零温度下的畴壁动力学，并判断在驱动外场作用下的二维随机伊辛模型的普适类，并将结果与QEW方程和实验所得到的结果相比较。在第二部分，我们大致介绍了要用到的模型和以及标度分析方法。在第三部分，我们呈现了数值模拟的结果。最后，在第四部分，得出结论。
图1 (a)初始状态是一个良好的畴壁面，自旋构型随时间的演化。(b)在Delta;=0以及Delta;=1.5时，畴壁界面随时间的演化。
二、模型和标度分析
DRFIM模型由哈密顿量定义为
(1)
这里是一个正方形晶格上的自旋值，随机场均匀分布在区间[-Delta;, Delta;]内,H是一个均匀场。根据参考文献[7]，我们修正Delta;J,并设置J=1。随机场的高斯分布也导致类似的结果，但是由无序引起的波动变得更强了，数值模拟在技术上也更复杂。因此，在本文中，我们只关注于的均匀分布的情况。我们的模拟是在零温度下进行的，晶格尺寸L=128,256,512,1024和最大值=2048，总样本数分别为10000,40000,50000和16000，其中主要结果是在L=512条件下得到的，而且在不同L下的数值模拟，证明了有限尺寸效应已经可以忽略。并且，我们通过将样本分成两个或三个子群来估计误差。
初始状态是半有序状态，在y方向上有一个理想的畴壁，并分别在x和y方向上用反周期和周期边界条件。为了消除与无序相关的钉扎效应，我们旋转正方形晶格，如图1的左扇图所示。在初始状态下，我们随机选择一个自旋，如果翻转后总能量减小，则将它翻转。这里我们把次操作次数记为一个蒙特卡洛步。随着时间的推移，畴壁将移动和变粗糙，而体积保持不变。因此，我们把它称为一个畴壁。我们应该注意，当Delta;时，将出现悬突和小岛，但只出现在畴壁界面上，所以定义畴壁界面是有意义的。在图1(b)中，展示了在Delta;和Delta;情况下，自旋构型随时间的演化。在图1(a)的右侧，展示了Delta;的情况下，自旋构型的精细结构。对于固定的Delta;和钉扎相变外场，若晶格尺寸为无穷大，畴壁界面宽度将随时间不断增大，最终发散，这是一种粗糙化的相变。对于Delta;的情况，畴壁界面也会不断增长，但它属于普遍性类[13-14]。
由于存在悬突和小岛的存在，我们有不同的途径来定义畴壁界面。但我们采用在文献中常用的一种方法来定义畴壁界面[7,10]。我们首先介绍高度函数，这里用表示点上的自旋，
(2)
然后定义线磁化强度及其二阶导数，
， k=1,2 (3)
其中包括了y的统计平均值和平均值。在方程(2)定义的高度函数中，悬突和小岛的影响似乎了。然而，它们还是影响着自旋构型的动态演化，并在畴壁界面运动和生长中起着至关重要的作用。利用高度函数，我们可以计算畴壁界面的平均速度[7]，
(4)
这里是钉扎相变的阶参数。另一方面，畴壁界面本身就可以用高度函数h(y,t)表示。所以，畴壁界面粗糙度函数被定义为，
(5)
以及包含了更多信息的高度相关函数,
(6)
这个函数描述了高度函数的空间相关性和畴壁的生长。为了独立地获得动态指数z，我们引入了一个可观测量，
(7)
这里M(t)是全局磁化强度和是它的第二阶导。事实上，F(t)只是平面磁化率和线磁化率的比值。
因为钉扎相变是二级相变，所以序参数v(t)的动态演化应服从重整化群计算所支持的动力学标度理论[32,34,36]。对于有限晶格的大小L，并假设非平衡态空间关联长度(t),缩放参数导致了序参数的动态缩放形式[32,34,36]，
(8)
这里b是任意重标度因子,和是静态指数，z是动态指数，v=(Hminus;) /。取b~(t)，那么，动力学标度形式则可以写为
(9)
在短时区域内，如果非平衡态空间关联长度远小于晶体尺寸，那么有限尺寸效应可以忽略.因此，
(10)
在相变点=0，标度形式满足幂次行为，
(11)
利用方程(10)，可以通过寻找v(t,v)的最佳幂次行为确定临界外场Hc。[34,36]为了确定v，可以简单地从方程(10)得到，
(12)
一般来说，即使在相变点=0，和C(r,t)也不遵从简单的幂律行为。因为序参数是v(t)，而不是h(t)。事实上，即使不是在无序表面，畴壁也会变得粗糙。为了得到无序表面的动力学影响，我们引入了纯粹的粗糙度函数，
(13)
和高度关联函数，
(14)
这里和，是在Delta;=0时的粗糙度函数和高度关联函数。对于足够大的晶格，在相变点 =0时，和应该遵守标准的幂次标度形式[6,27,29]，
(15)
以及，
(16)
这里(t), 其中是全局粗糙度指数和是局部粗糙指数。在参考文献中，仔细分析了有限尺寸晶格的函数的标度行为，并发现，
(17)
在短时区域内，h(y,t)的空间关联长度较小。因此，DC(r,t)的有限尺寸依赖性与相同，
(18)
因为描述x方向的涨落，而且包括x和y方向上两个方向上的涨落，所以F(t)的动力学标度行为是[34,35]，
(19)
在这里，我们不需要用重新定义F(t)，因为由引起的标度行为的相关性，与抵消了。
三、数值模拟结果
图2(a) 以对数-对数的标度形式展示了在不同驱动外场H下，畴壁运动速度。为了更清楚地展示，我们用不同的格点表示=1.2933的曲线。(b)我们绘制了在=1.2933，Delta;Delta;=1.5 和Delta;=0时的F(t)曲线。为了揭露等式(19)中有限点阵效应的依赖性，F(t)用L重新标度。在图(a)和(b)中，虚线都表现出了幂次行为。
图2(a)展示了当晶格大小L=512时，在不同驱动外场下，畴壁的运动速度v(t,)。当驱动外场H较大时，运动速度v近似于一个定值，当H较小时，畴壁速度急速下降。为了寻找最佳的幂次行为，我们确定相变场的值=1.2933(2)。 这个值比从稳态中得到的 =1.290(3)更精确。在图2(a)，我们注意到当=1.2933(2
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